推 ballballking: 感謝 09/19 08:26
推 ballballking: 請問f^(3) (x) = p_1(x) + 24x + 12 09/19 08:45
→ ballballking: 常數12 是如何算出來的 不好意思 09/19 08:45
※ 引述《ballballking (蛋蛋王)》之銘言：
: (1)
: x
: ∫ f(t)dt=x^4 求f(x)=?
: x-1
: (2)
: n
: 請利用1的結論 求Σ k^4為何
: k=1
: 第一題我兩邊同時對x微分
: 得到f(x)-f(x-1)=4x^3 -----------(1)
: 然後let f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e 帶入1式--------(2)
你怎麼知道最高次方 = 4?
證不出來就不能做那種假設
設f(x)至少5階可微
x
F(x) = ∫ f(t) dt
0
F(x) - F(x - 1) = x^4
n
F(n) = Σk^4
k=1
f(x) - f(x - 1) = 4x^3
f'(x) - f'(x - 1) = 12x^2
f"(x) - f"(x - 1) = 24x
f^(3)(x) - f^(3)(x - 1) = 24
f^n (x) - f^n (x - 1) = 0, for n>= 4
f^(4) (x) = p_0(x) + a_0 continuous with period 1/N
p_n(x): periodic function with period 1/N and
如此積分下去
不難看出f(x)實際上為4次多項式 + p_4(x)
f^(3) (x) = p_1(x) + 24x + 12
f^(2) (x) = p_2(x) + 12x^2 + 12x + 2
f^(1) (x) = p_3(x) + 4x^3 + 6x^2 + 2x
f(x) = p_4(x) + x^4 + 2x^3 + x^2 - 1/30
跟用f(x) = x^4 + 2x^3 + x^2 - 1/30算的效果一樣
: 得到f(x)=x^4+2x^3+x^2
就算你假設f(x)是多項式的情況
f(x)也不會是x^4 + 2x^2 + x^2
而是x^4 + 2x^2 + x^2 - 1/30
: 第二題
設
x
F(x) = ∫ t^4 + 2t^2 + t^2 + c dt
0
= (1/5)x^5 + (1/2)x^4 + (1/3)x^3 + cx
= (1/5)x^5 + (1/2)x^4 + (1/3)x^3 - (1/30)x
: n
: 我對第一題的式子兩邊取Σ
: x=1
: 得到 Σ[F(x)-F(x-1)]=Σx^4 , F(x)= ∫f(x)dx
n
F(n) = Σ k^4
k=1
n
Σ k^4 = (1/5)n^5 + (1/2)n^4 + (1/3)n^3 - (1/30)n
k=1
: 化簡得到 F(n)-F(0)=Σx^4
: 得到 Σx^4=(1/5)n^5+(1/2)n^4+(1/3)n^3 -----------(3)
: 我要問的第一個問題是
: 有關(1)式
: 已知f(x)-f(x-1)=4x^3
: 我猜測f是四次多項式
: 為什麼可以這樣猜?
: 這是我自己亂猜的
: 但是有辦法證明說 這樣的f一定是4次多項式嗎?
: 我要問的第二個問題是
: 我檢查了我的過程感覺都沒問題
: 但是正確答案並非(3)
: 而是 (1/5)n^5+(1/2)n^4+(1/3)n^3-(1/30)n
: 請問我是哪裡漏了? 感謝!
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