Re: [微積] 合成函數的微分

[LPH66 (1597463007)]

※ 引述《ArzasV (林志玲來電說要問數學)》之銘言：
: http://imgur.com/SB8f8q8
: 題目以及解答如上
: 第一段是書上寫的過程
: 第二段是我自己寫的
: 請問為何書上的過程可以避免掉x=正負1的討論
: 還是我自己寫的過程當中有地方遺漏掉，請大大解惑了

: 推 phs         : 題目問的是f'(x=+1), 你的解答卻是f'(x=+1,-1)       09/19 16:01
: 推 jacky7987   : 因爲t=sqrt{x} 他省略負的                          09/19 16:02
: → jacky7987   : 不過我以爲這題是考chain rule                      09/19 16:02
: → jacky7987   : 兩邊微分 f(x^2)+2x^2f'(x^2)=4x^3/x^4+1 代1得到    09/19 16:04
: → jacky7987   : f(1)+2f'(1)=2 原本式子代1可以得到f(1)=ln(2)       09/19 16:05
: → jacky7987   : 就可以得到答案也不用在那做變數變換                09/19 16:06
: → ArzasV      : 謝謝，頓悟                                        09/19 16:18
: → ArzasV      : jacky大，我在您的式子代x=-1也可以得到-2             09/19 23:11
: → ArzasV      : f(x^2)+2x^2f'(x^2)=4x^3/x^4+1  x=-1代入           09/19 23:11
: → ArzasV      : 得 f(1)+2f'(1)=-2                                 09/19 23:12
: ※ 編輯: ArzasV (118.168.232.214), 09/19/2014 23:12:40
: → ArzasV      : 這樣解出來是-1-ln(2)/2 = =又有新答案了...         09/19 23:16
全部的問題其實在於題目沒出好:

滿足「對所有實數 x, x f(x^2) = ln(x^4+1)皆成立」的 f(x) 並不存在

因為若令 x = 1, 可得 f(1) = ln2; 令 x = -1, 則得 f(1) = -ln2

但一個函數不會在一個 x 值上取得兩個不同的值, 故符合條件的函數不存在

所以我們只能退而求其次

如果題目改成「對所有正實數 x, x f(x^2) = ln(x^4+1) 皆成立」

則所求的 f(t) 即為 ln(t^2+1)/√t  (f: R+ → R)

此時就有 f'(1) = 1 - ln2/2

相對的, 如果題目改成「對所有負實數 x, x f(x^2) = ln(x^4+1) 皆成立」

則所求的 f(t) 就是 -ln(t^2+1)/√t  (f: R+ → R)

此時就有 f'(1) = -1 + ln2/2

書上顯然是假設前者條件, 所以才會一開始就代 x = √t

你的做法則是在你寫下 x = ±1 時把上面這兩種幾乎類似的狀況一起寫了下來而已

而後來那個問題的原因則是你把這兩種狀況混在一起的關係

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順帶一提, 單從題目這條件無法推得 f(0) 是多少

事實上 f(0) 可以是任意實數, 不過這跟題目要求的 f'(1) 就無關了

上面我有意寫出那兩個 f 的定義域是 R+ 也是為了行文方便閃開這一點而已

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→ yyc2008     : 當成多值函數吧  有兩個part
→ LPH66       : 當成多值函數的話原 PO 的做法就差不多是正解了
推 ArzasV      : 非常感謝
推 jacky7987   : 感謝指正
推 alfadick    : 前不久我剛好想過f(x^2):=something 這問題, 現在
→ alfadick    : 居然在板上看到以這種方式來定義f的出題 真巧
→ alfadick    : 大推這篇 寫得很讚!! 這才是做數學該有的態度!!!
→ alfadick    : 真的很討厭不是很懂嚴謹的符號該怎麼用就亂用的人
→ alfadick    : 尤其當他是出題者的時候
→ alfadick    : 話說LPH也是Mathematica愛好者
→ alfadick    : Mathematica可以寫f[x_^2]:=x這種東西xD
→ alfadick    : f[2^2]一執行,  global rule就有 f[4]:>2這條
→ alfadick    : 再執行f[(-2)^2], 又把f[4]洗掉變成f[4]:>-2