[分析] 黎曼假設(閱讀數學科普書後的問題)

作者snow3804 (snow3804)

看板Math

標題[分析] 黎曼假設(閱讀數學科普書後的問題)

時間Sun Sep 21 10:28:27 2014

我現在在讀質數魔力-橫跨兩世紀的狂熱這本書遇到一些問題要請教網友 ∞ 1 1 1 1 ξ(s)=Σ --- = --- + --- + --- + ... n=1n^s 1^s 2^s 3^s 在s>1的時候直接代入計算ξ(s)值在s=1的時候發散但接下來為了要計算0<s<1的ξ(s)值 ∞ (-1)^(n-1) 1 1 1 1 1 書上定義η(s)=Σ ---------- = --- - --- + --- - --- + --- - ... n=1 n^s 1^s 2^s 3^s 4^s 5^s ( 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 1 ) 利用(--- - --- + --- - ---)=(--- + --- + --- ... ) - 2*(--- + --- + --- + ...) (1^s 2^s 3^s 4^s) (1^s 2^s 3^s ) (2^s 4^s 6^s ) 得到 η(s) = ξ(s) - 2^(1-s)*ξ(s) ξ(s)=η(s)/(1-2^(1-s)) 因為在0<s<1時η(s)是可以算的,再代入上面的式子得到ξ(s)值但我的問題是明明在0<s<1時ξ(s)是發散的結果利用恆等式硬是算出個值,但這根本就不合理阿 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.36.154.3 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1411266510.A.473.html

推 jacky7987 : 應該說我們extend zeta根據那個定義 09/21 10:34

→ kerwinhui : 為什麼是 xi (ξ) 不是 zeta (ζ)? 09/21 12:47

推 LPH66 : 你如果拉更遠到負整數還會得到 1+2+3+...=-1/12 09/21 19:20

→ LPH66 : 但這根本就不是通常意義下的級數和, 所以用原本的 09/21 19:20

→ LPH66 : 級數意義去看它自然會覺得荒謬 09/21 19:20

→ LPH66 : 數學上確實存在一些級數和的定義法能指定值給部份的 09/21 19:24

→ LPH66 : 發散級數, 不過不能將它跟一般的級數和混在一起 09/21 19:24

→ snow3804 : 感謝回應,書上這單元是"擴張定義域" 09/21 20:09

→ snow3804 : 或許就是要將定義域的範圍再擴大,書上除了0<s<1 09/21 20:11

→ snow3804 : 還有提到另一個恆等式ξ(s)=2^(1-s)π^(-s)sin... 09/21 20:12

→ snow3804 : 來算s為負數的ξ(s)值,既然無法用原來級數和來看的 09/21 20:13

→ snow3804 : 應該有個原因來支持為什麼要擴大定義域 09/21 20:14

→ snow3804 : 因為這只是科普書所以也沒寫原因為何 09/21 20:15

推 LPH66 : 看來這個章節主要在講的是 analytic continuation 09/21 22:46

→ LPH66 : 這樣的 Zeta 函數已經跟級數和無關了, 只是正好在 09/21 22:47

→ LPH66 : s>1 時的值跟這些收斂的級數和相等而已 09/21 22:47

→ WINDHEAD : 你有學過級數重排嗎~ 09/22 05:11

→ snow3804 : 我查了analytic continuation的wiki介紹 09/22 07:33

→ snow3804 : 在開頭提到這是擴展analytic function定義域的技巧 09/22 07:34

→ snow3804 : 可以定義出函數更進階的值 09/22 07:37

→ snow3804 : 這個答案對我來說已經足夠了,感謝大家回答 09/22 07:38

推 recorriendo : analytic continuation!! 之前不是鬧得很大嗎XD 09/22 09:30