Re: [中學] 建中數學競賽

[alamabarry (.............)]

※ 引述《qwade (珍惜)》之銘言：
: 設a,b,c為三相異非0實數
:        3a-b 2   3b-c 2   3c-a 2
: 證明: (----) + (----) + (----) ≧10
:         a-b      b-c      c-a
: 連等號什麼時候成立都不知道orz

3a-b         b   3-L
----=L   ==> --=------
a-b          a   1-L

同理

3b-c         c   3-M
----=M   ==> --=-----
b-c          b   1-M

3c-a         a   3-N
----=N   ==> --=------
c-a          c   1-N

以上關係可得
b   c   c    (3-L)(3-M)(3-N)
--*---*---=1=----------------
a   b   a    (1-L)(1-M)(1-N)

可得(3-L)(3-M)(3-N)=(1-L)(1-M)(1-N)

展開消掉L*M*N項可得 4(L+M+N)-(LM+MN+NL)=13

原題目改為L^2+M^2+N^2=(L+M+N)^2-2(LM+MN+NL)

之前的條件可帶入上式得(L+M+N)^2-2(4(L+M+N)-13)=(L+M+N)^2-8(L+M+N)+26

                      =(L+M+N-4)^2+10>=10

等號成立的時候就是L+M+N=4

代入假設變成abc就可以了


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推 woieyufan   : 有點厲害
推 binbinthink : 不是有點厲害,是灰熊厲害
推 boardway    : 好厲害!!!!!
推 handsboy    : 佩服
推 Tiderus     : 為啥想得到這種，有訣竅嗎？
→ alamabarry  : 有點意外做出來的...我不常做這種類型的題目
→ alamabarry  : 一開始覺得abc只是比例關係所以設a=1帶入去解bc
→ alamabarry  : 但是失敗~~後來想說設定LMN 去找他隱藏的關係
→ alamabarry  : 接著就不小心找到關係~~就解出來了
→ alamabarry  : 也有考慮過把代數變幾何問題所以設成LMN變成距離
推 Dawsen      : 強～
推 TRAP        : 神回覆