※ 引述《anous (阿文)》之銘言：
: 1. 已知sigma(k)、sigma(k^2)、sigma(k^3)公式
: 試推導出sigma(k^5)級數和公式。
: 我個人試過將sigma(k^2)與sigma(k^3)相乘，做出k^5項與其他
: 但多出來的項很難處理掉，而用乘法公式展開完全六次方又十分沒效率且容易錯。
Σk^4 = (n+1)(Σk^3) - [(1^3) + (1^3+2^3) + (1^3+2^3+3^3)+...+(Σk^3)]
= (n+1)(Σk^3) - (Σk^2*(k+1)^2/4)
= (n+1)(Σk^3) - (Σk^4/4 + Σk^3/2 + Σk^2/4)
移項得
(5/4)*Σk^4 = (n+1/2)(Σk^3) - (1/4)(Σk^2)
代換完得到 n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
同樣
Σk^5 = (n+1)(Σk^4) - [(1^4) + (1^4+2^4) + (1^4+2^4+3^4)+...+(Σk^4)]
= (n+1)(Σk^4) - (Σk(k+1)(2k+1)(3k^2+3k-1)/30)
一樣的方法，後面展開後移項整理
Σk^5 = (5n/6 + 5/12)(Σk^4) - (5/18)(Σk^3) + 1/36(Σk)
最後帶入可得 Σk^5 = (2n^6+6n^5+5n^4-n^2)/12 = n^2(n+1)^2(2^2+2n-1)/12
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