[其他] 複變數積分

[adu (^_^)]

請教一題複變數的考古題


積分0到pi/2

f(t) = 1/(1+sin^2(t))



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 109.193.78.198
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→ BLUEBL00D   : sint=[exp(it)-exp(-it)]/2i  下次補一下自己想法吧
→ BLUEBL00D   : cost=[exp(it)+exp(-it)]/2,sin^2t=0.5[1-cos(2t)]
→ BLUEBL00D   : 用上面三式湊2pi積分範圍就能用留數求了
如果將sin^2式代入會得到同樣積分0至pi/2, f(z)=2/(3-cos(2t))
不知道該如何將積分範圍轉換至2pi?


我原本的想法是直接將sin(t)=(e^it - e^-it)/2i 將f(z)展開後
設z=e^it 再用留數解
但同樣也卡在原本的積分範圍是0至pi/2 不知該如何限制新的積分範圍

※ 編輯: adu (109.193.78.198), 10/06/2014 06:47:17
→ BLUEBL00D   : http://imgur.com/4oAa9vg
→ adu         : 謝謝!!
之後將 cos(z)=(z+z^-1)/2 代入  積分範圍改為單位圓
可算得sing為z=3+-(10^(1/2)) 只有3-10^(1/2)在單位圓內
用留數解得-pi/(10^(1/2))

※ 編輯: adu (109.193.78.198), 10/07/2014 06:09:07

能否再請教一些觀念問題
1.for all w,z in C\{0} and all a in C => w^a * z^a = (wz)^a
2.Let f be an entire function, f hat a removable Sing in "Infinite"
 => f is constant
3.exists a entire function with f'n(0)=n!/(n^2) for all n in N
                                ^^^^^f的n次微分於0
第一個我猜不成立 猜想跟exp或是Log有關

第二個我認為成立
設h(z)=f(1/z) => 則h in C有上限且holo. 用Liouville得h=constant.
              ^^但這個箭頭我的立論不明確

第三個還沒有方法


※ 編輯: adu (109.193.78.198), 10/07/2014 06:20:57