Re: [幾何] 等腰三角形競賽試題

[LPH66 (1597463007)]

※ 引述《Intercome (今天的我小帥)》之銘言：
:   [第四屆兩岸四地少年兒童數學邀請賽]
:   等腰△ABC中，AB=AC，D是BC上一點，CD=2BD，∠BAC小於等於60°,
:   H是AD上一點，∠DBH=∠BAD，若△ABC面積為s，AD長為L,
:   請用含s和L的代數式表示CH的長。
:   再請版上高手提供解法，謝謝。
易知 △ABD～△BHD (AA)

故 AD:BD=BD:HD

作 CD 中點 E 並連 AE, HE

易知 BD = DE = EC

於是 AD:DE=DE:HD, 故 △ADE～△EDH (SAS)

又由等腰三角形 ABC 中 AB = AC, ∠B = ∠C, BD = EC

→ △ABD 全等 △ACE → AD = AE → 由相似 ED = EH

於是 E 是三角形 DHC 的外心又在 CD 邊上

故三角形 DHC 為 ∠H 直角之直角三角形, 即 CH⊥AD (←其實這題要考的是這個)

於是 CH = 2△ADC / AD = 2((2/3)△ABC) / AD = 4s/3L

若答案給 2s/L 則題目應有誤植, 應是「△ADC面積為s」

另, ∠BAC≦60度的條件應是限制圖形在為銳角三角形

或許是因為當頂角大於 120 度時 H 點會不在 AD 線段上吧

這個條件最寬可以到 ∠BAC＜120度

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'Oh, Harry, don't you see?' Hermione breathed. 'If she could have done
one thing to make absolutely sure that every single person in this school
will read your interview, it was banning it!'
                      ---'Harry Potter and the order of the phoenix', P513

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→ yyc2008     : 請問M在哪? 還有AD:DE=DE:HD怎麼得到的?
→ yyc2008     : AD:DE=DE:HD我知道了
M 是我原先的 E 點的名字, 結果改名沒改完 orz

原本是從中點取 M, 後來發現叫 E 比較有強調到 B C 的三等分點性質
※ 編輯: LPH66 (123.195.39.85), 10/07/2014 00:27:11
推 contaminate : 喔！！終於有人解出來了QQ我想了好久喔
→ yyc2008     : 我猜∠BAC題目故意不寫120是因為這樣答案就很容易猜
→ yyc2008     : 否則沒理由限定在60度 當然出題者可能可以更賊 故意
→ yyc2008     : 出像是49度之類的
推 Intercome   : 感謝L大精闢的解析^^y