Re: [幾何] 三角問題求解

[LPH66 (1597463007)]

※ 引述《mj813 (朽木雕刻師)》之銘言：
: 　任意一個銳角三角形ＡＢＣ
: 　設三高為ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ
: 　若三角形ＤＥＦ之周長為１
: 　求： ＡＤ＊sinＡ 之值？
: 　PS：若令ＡＢＣ為正三角形，可輕易得出答案。
: 　　　但我想問問任意銳角三角型時的答案證明。
: 　感激不盡！
令 AB=c, BC=a, CA=b

由相似三角形易知 DE = c cos C, EF = a cos A, FD = b cos B

(以 DE 為例, 相似形是 △ABC～△DEC, 相似比為 cos C, SAS 相似; 其餘類推)

故條件 DEF 周長為 1 即為 a cos A + b cos B + c cos C = 1

而 AD sin A = b sin C sin A
            = b sin C sin (B+C)
            = b sin C (sin B cos C + cos B sin C)
            = b (sin B sin C cos C + cos B sin^2 C)
            = b (sin B sin C cos C + cos B (1 - cos^2 C))
            = b (cos C (sin B sin C - cos B cos C) + cos B)
            = b (cos C (-cos(B+C)) + cos B)
            = b (cos C cos A + cos B)
            = b cos C cos A + b cos B

類似地 AD sin A = c cos B cos A + c cos C

相加得 2 AD sin A = b cos C cos A + c cos B cos A + b cos B + c cos C
                  = b cos C cos A + c cos B cos A + 1 - a cos A
                  = 1 + cos A (b cos C + c cos B - a)
                  = 1 + cos A (CD + BD - BC)
                  = 1 + cos A * 0
                  = 1

故所求為 1/2 #

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実琴：「河野！你真的就這樣被物質慾望給吸引過去了嗎?!」
亨：「只要穿著女裝擺出親切的樣子，所有必要花費就能全免，似乎一點都不壞啊。」
実琴：「難道你沒有男人的尊嚴了嗎?!」
亨：(斷然道)「沒有。在節衣縮食且生活吃緊的學生面前，沒有那種東西。」
                                            －－プリンセス・プリンセス  第二話

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※ 編輯: LPH66 (123.195.39.85), 11/01/2014 03:19:15
推 mj813       : 感謝!!!