Re: [線代] 正定矩陣相乘的固有值是非負實數嗎？

[kerwinhui (kezza)]

※ 引述《emptyempty (none)》之銘言：
: 兩個半正定（對稱）矩陣Ａ，Ｂ的乘積Ｃ＝ＡＢ（可能非對稱），
: Ｃ的eigen-values 是否一定是實數而且是非負實數呢？
: 我找不到反例又不會證明....

(1) 假設Ａ是正定，Ａ=Ｄ^2，則ＡＢ similar to ＤＢＤ congruent to Ｂ
所以從ＤＢＤ 對稱半正定得結論Ｃ的eigenvalue都是非負實數
(2) Ａ非正定，由Ａ+tＩ正定得Ｃ+tＢ的eigenvalues都是非負實數(所有t>0)。
取t→0得相同結論

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『我思故我在』怎樣從法文變成拉丁文的：
je pense, donc je suis --- René Descartes, Discours de la Méthode (1637)
ego sum, ego existo    --- ____, Meditationes de Prima Philosophia (1641)
ego cogito, ergo sum   --- ____, Principia Philosophiae (1644)

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推 ww770829    : 那個D一定是對稱嗎? 又或是可以取到對稱的D?
→ kerwinhui   : 用spectral theorem可得同樣是對稱(半)正定的平方根
推 emptyempty  : DDB similar to DBD 是怎麼來的？
推 emptyempty  : 沒事，我知道了，謝謝。
→ kerwinhui   : 左邊乘 D^{-1} 右邊乘 D