Re: [中學] 指數方程式

[joyfound (羊)]

※ 引述《revengeiori (大笨宗)》之銘言：
: 方程式 f(x)= 4^x + m* 2^x + 5 = 0
: 至少有一實根在 [1,2] 之間，求 m 的範圍？
: 麻煩各位先進了

如原文推文
題目等同y^2+my+5=0至少有一實根在[2,4]

1.恰有一實根在(2,4):

  f(2)f(4)<0  => -21/4<m<-9/2

2.有一根為2 or 有一根為4

  f(2)=0 or f(4)=0 => m=-9/2 or m=-21/4

3.兩實根皆在[2,4] (令這兩實根為a,b)

  因為ab=5 => a = 5/b, 又 2≦b≦4 => 5/4 ≦a≦ 5/2

  又a在[2,4] => 2≦a≦5/2(結論)

  最後,a+b=-m => a+(5/a)=-m

  又a+(5/a)≧2√5[成立於a=(5/a)時, 也就是a=√5時]

  且a+(5/a)≦9/2 [成立於a=範圍的兩端, 也就是2 or 5/2]

  所以-9/2≦m≦-2√5

  綜合以上,-21/4≦m≦-2√5


  其實我在想可能有一次算完的方法, 等其他高手來解答吧

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※ 編輯: joyfound (1.174.242.176), 11/29/2014 05:56:20
→ ERT312      : a+(5/a)≧2√5是算幾，但a+(5/a)≦9/2的理由似乎不
→ ERT312      : 夠充分，也就是說怎麼證明在端點會是極值?
→ joyfound    : 兩個正數積固定  離的越遠和就越大  其實直觀就可以
→ joyfound    : 觀察出來了,  如果硬要科學方法的話 , 就微分一下
→ joyfound    : 也很簡單就證明出來了