Re: [中學] 國中幾何證明題

[Sfly (topos)]

純古典幾何做法:

http://imgur.com/2k9Sbyw


連接 OA,OB,OC

易知 OA⊥EF, OB⊥FD, OC⊥DE

所以 ABC面積=鳶形AFOE+BFOD+CDOE=R/2*(DE+EF+FD).





※ 引述《linkismet (linkismet)》之銘言：
: ※ 引述《linkismet (linkismet)》之銘言：
: : 想了個用三角函數的証明
: : 首先利用共圓得到角度關係
: : http://imgur.com/bv3Z87a
: : 再定義一些角度
: : http://imgur.com/AJ7cPxu
: : 接下來只要用正弦定理和角度關係做些代數運算
: : http://imgur.com/ycq3ndW
: : http://imgur.com/dsJFJYc
: 國中解法
: 先畫個外接圓,定義外接圓半徑R
: http://imgur.com/MHEjGTU
: 讀出面積關係然後用相似定理和畢氏定理把變數換成a,b,c,R
: http://imgur.com/Pd2bB0v
: 換垂心的垂足三角形三邊
: http://imgur.com/ABeQ0iQ
: 比對得証
: http://imgur.com/6wI0chT
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: 三角函數的本質其實就是相似三角形...

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※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1417318921.A.C5F.html
推 linkismet   : good!!漂亮又優美的証法，可以放到the book!!
→ yyc2008     : OA⊥EF 如何證明?
推 LPH66       : AFC 相似 AEB 得 AF:AE=AC:AB 故 AEF 相似 ABC
→ LPH66       : 於是 ∠AFE=∠ACB=劣弧AB=弦AB在A點的弦切角
→ LPH66       : 故 EF//圓過 A 點切線 而 AO 為半徑故 OA⊥EF
→ LPH66       : OB⊥FD, OC⊥DE 類似可得
→ LPH66       : 19:15 中間改為 (1/2)劣弧AB
→ yyc2008     : 感謝LPH大 這個性質跟 易知 有一大段距離吧
推 XII         : 垂心對三邊對稱點在外接圓上=>OA⊥EF
推 Starvilo    : 樓上的推論我當年桃竹苗數理競賽考過~~XD~
推 ipost       : 因為BCEF共圓, 所以角AEF=角ABC. 2*角ABC+2*角OAC=
→ ipost       : 三角形ABC內角和=180度, 故角AEF+角OAC=90度 得證