Re: [中學] 國中幾何證明題

[linkismet (linkismet)]

先說結論:我沒有證明太快下定論似乎推文有誤

一些證明

首先，正弦定律是鈍銳角都成立的，證明wiki有
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86


※ 引述《linkismet (linkismet)》之銘言：
: ※ 引述《linkismet (linkismet)》之銘言：
: : REFER:
: : http://mathworld.wolfram.com/OrthicTriangle.html
: : --------------------------------------------------------------------------
: : DEF:
: : a,b,c := 對邊
: : R := △ABC外接圓半徑
: : r := △DEF內接圓半徑
: : --------------------------------------------------------------------------
: : PROPERTIES:
: : △ABC的垂心是△DEF的內心
: : 式一: △ABC=abc/4R

利用正弦定律，我們可以證明式一

參考圖
http://imgur.com/TxsqBie

證明
http://imgur.com/fGoDGjp

: : 式二: △DEF=(abc*abs(cosAcosBcosC))/(2R)=(DE+EF+FD)*r/2

討論鈍角三角形時的證明
http://imgur.com/LSgBKXW

note:討論銳角三角形時會沒有那個負號，要在鈍銳角都成立時可以加個絕對值


: : 式三: r=2R*abs(cosAcosBcosC)

這一個式子，去掉絕對值之後 在討論銳角三角形時是成立的
      (refer:
       http://www.irmo.ie/5.Orthic_triangle.pdf
       中的Proposition 4)

我在鈍角時得到了不同的結果(會使用九點圓的性質)
http://imgur.com/6ld3Vpw

運算過程最後兩式分母使用和差化積的化簡過程
http://imgur.com/jwqwr7j

: : --------------------------------------------------------------------------
: : PROOF:
: : 由式二得 abc/2R,和式三一起 代入式一即可得到
: : △ABC=R*(DE+EF+FD)/2
: : --------------------------------------------------------------------------
: : 有現成的就偷懶不想自己證明...


回應我之前的推文

A.式一式二是不管鈍角銳角三角形都成立的

B.關於式三我之前下的錯誤推文
  1.式三去掉絕對值後，在討論銳角三角形時是成立的

  2.在鈍角三角形時我得到不同的結果

結論:請大家幫忙check一下有沒有錯誤，mathworld的網頁需要補寫適用範圍嗎?

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※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1417572435.A.706.html
※ 編輯: linkismet (36.234.149.13), 12/03/2014 10:12:43
※ 編輯: linkismet (36.234.149.13), 12/03/2014 11:47:29
推 ipost       : 式三那篇他在proposition 1和2有提到銳角,4雖然沒提
→ ipost       : 但原式因為沒有絕對值,他可能覺得很顯然是銳角不必
你的原式指的是
http://www.irmo.ie/5.Orthic_triangle.pdf
或
http://mathworld.wolfram.com/OrthicTriangle.html 的式(6)?

→ ipost       : 再說.坦白說如果要他補上範圍我覺得他會認為是吹毛
→ ipost       : 求疵
1.
http://www.irmo.ie/5.Orthic_triangle.pdf 一文中的命題4使用了它之前的命題，
當中隱含了銳角的假設，得到
r=2R*(cosAcosBcosC)
是自然的

2.
我的回文中，覺得可能要補上適用範圍的是
http://mathworld.wolfram.com/OrthicTriangle.html

3.Linus' Law: "given enough eyeballs, all bugs are shallow"
希望大家一起幫忙check
※ 編輯: linkismet (36.234.149.13), 12/05/2014 10:28:44
※ 編輯: linkismet (36.234.149.13), 12/05/2014 10:34:48
推 ipost       : 原式是說後面那篇的proposition 4抱歉沒看清楚 我上
→ ipost       : 一篇的回文中猜測是式二有問題 其實式二和式三導出
→ ipost       : 的過程我沒看也不清楚 但不知道有無理解錯 我覺得資
→ ipost       : 料庫的作者 似乎認為式三可以推到鈍角的情形 所以他
→ ipost       : 才加上絕對值 現在您有一個證明說式三只限銳角 我想
→ ipost       : 寄給他們去檢查怎比網友檢查要可靠吧?
→ ipost       : 怎比=總比
→ linkismet   : ok,我寄給他們了