Re: [中學] 三次多項式三根成等差

[alice90426 (IceSnowSmart)]

※ 引述《magiclass (課堂上玩數學)》之銘言：
: 三次多項式x^3+ax^2+bx+2=0的三根成等差，
: 且a,b皆為整數。
: 求a=? b=?
設三根為r-d,r,r+d
由根與係數關係可得
3r=-a...........(1)
3r^2-d^2=b......(2)
r(r^2-d^2)=-2...(3)
接著將r,d消掉，可得a,b關係式
由(3)->d^2=r^2+2/r
代回(2)->b=2r^2-2/r...(4)
由(1)->r=-a/3
代回(4)->b=6/a+2a^2/9
整理後得2a^3-9ab=-54
->a(2a^2-9b)=-54
a可能等於±1,±2,±3,±6,±9,±18,±27,±54
代回求b
整數解有(a,b)=(3,4),(6,9),(-3,0),(-6,7)

感謝推文提醒
d^2=r^2+2/r=a^2/9-6/a>=0
代回檢查(3,4)不合
答案剩下(6,9),(-3,0),(-6,7)
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推 ntnusliver  : 最後 a(2a^2-9b)=-54 知a是3的倍數 令a=3k
→ ntnusliver  : 可再化簡  k(2k^2-b)=-2
推 ntnusliver  : 我得到答案是(-3,0) (6,9)(-6,7)
→ ntnusliver  : 原PO負號有筆誤  還有要檢查d^2 >0
→ ntnusliver  : 所以會少一組
→ ntnusliver  : 化成k(2k^2-b)=-2  好處是k只有±1,±2 四種情形
→ yyc2008     : 怎麼知道a是3的倍數?
推 ntnusliver  : (2a^2-9b) 和3互質 且a(2a^2-9b)=-54 =>a是3的倍數
→ ntnusliver  : 抱歉 上面是指 若a不是3的倍數  2a^2-9b會和3互質
→ ntnusliver  : 即可推得a是3的倍數
→ yyc2008     : 了解 謝謝
※ 編輯: alice90426 (114.44.236.26), 12/05/2014 00:05:37