[幾何] 歐幾里得公理

[Lanjaja ()]

前幾天一時興起，翻了翻幾何原本。
其中在第一卷的前面命題4，就是證明SAS全等性質。
但是那個證明最後用了一個反證法，
大意是：
假如有兩條不同的直線，他們的兩端都分別是兩個點B,C
則兩條直線會圍成一個空間，這是不會發生的，所以那兩條直線必定是同一條直線。

但是我檢查了一下歐幾里德的五條公設：
1.從一點向另一點可以引一條直線。
2.任意線段能無限延伸成一條直線。 → 更正為2.一條有限直線可以繼續延長
  (謝謝austin1119指正無限兩個字的誤用 因為幾何原本不在手上 當時直接複製WIKI的)

3.給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。
4.所有直角都相等。
5.若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直
  線在這一邊必定相交。

不知道要用哪條公設？
1.只說明可以引一條直線，沒說是唯一一條。
再來假設兩條直線的兩端點相同，在定義中也未出現這種狀況，
請問怎麼預先知道在這假設條件下，兩條直線「會」圍出一個空間？
而且還知道這不會發生，感覺有點循環論證。
在定義中有講到線跟線交於一點或沒有交點的情況，
既然兩條線同樣分享兩個端點，已是「平面」上的幾何(至少在定義中)所不可想像的，
那怎麼能說兩條直線會圍成一個空間又是不可能發生的？
因此，我的問題分成兩個部份：

1.怎麼知道按照假設之下，兩條直線會圍成空間？而且是一個不是多個空間？為何可以排
  除沒有空間的可能？

2.「兩條直線會圍成一個空間」，這是不會發生的。why?這不就是我們要證的嗎？這樣有
  沒有循環論證的嫌疑？

懇請板上強者幫忙解惑，謝謝。

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推 woieyufan   : 有端點就是線段吧 怎麼會是直線呢
我看的中譯本沒有線段這個詞
定義3: 一線的兩端是點(註解：不一定是直線)
但是命題中是比較兩個三角形
所以已經隱含假設討論的線段是直的線  不是曲線
我就簡稱為直線  雖然這不是我要問的問題

→ woieyufan   : 任意線段能無限延伸成一條直線 應該就是說一條
一條有限直線可以繼續延長 似乎和命題假設兩條線段可以各自繼續延伸沒有衝突？

→ wohtp       : 照公理的原文本身，的確沒有說過兩點的直線唯一
→ wohtp       : 但是幾何原本後面的證明常常用到唯一性，用得理所當
→ wohtp       : 然
我還沒有看到很後面，但是說不定歐幾里德覺得這一唯一性已在命題4討論過，
所以視為已知也不無可能？
只是我覺得歐幾里得認為假設共享兩端點的兩直線段會圍成一塊空間，因此認為不可能
好像沒有那麼理所當然，我不了解為什麼不可能？
甚至覺得是不是該在定義、公設裡面再增加一些東西，使得這個論證有依循的根據？
→ wohtp       : 所以現在大家的見解好像都是歐基里德忘了在第一條加
→ wohtp       : 上「唯一」兩個字
※ 編輯: Lanjaja (61.228.131.213), 12/15/2014 11:38:41
→ wohtp       : 就是我說的，他忘了補上「唯一」兩個字啊
推 sunev       : 如果不加「唯一」會有問題，是否意味著有另一種非歐
→ sunev       : 幾何？