[幾何] 請教FB影片中的好玩定律之證明如何下手

[lifestream (咪路貓與黑黑兔)]

https://www.facebook.com/video.php?v=895181870522546&pnref=story

影片是朋友傳給我的，其論述有二
(1)
全圓是360度，3+6+0＝9
半圓是180度，1+8+0＝9
四分圓是90度，9+0＝9
八分圓是45度，4+5＝9
依此類推
（2）
內接正三角，內角和是60*3＝180度，1+8+0＝9
內接正四角，內角和是90*4＝360度，3+6+0＝9
內接正五角，內角和是108*5＝540度，5+4+0＝9
依此類推

小弟很好奇如何證明，發現（1）與（2）似乎有雷同之處
但是不知如何歸納？
360度拆成 300 + 60 + 0？然後只取3+6+0＝9？
想不通～～特來求助第一步該如何下手

--
  102年國中升高中學測考題

  由  高山青　澗水藍  歌詞我們可以知道可知阿里山一定被﹍﹍﹍污染了

  （A）藍皮綠骨（B）綠皮藍骨（C）硫酸銅（D）以上皆是

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 120.127.252.1
※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1419000986.A.DCF.html
推 LPH66       : 會取 360 大概是 8 9 10 的公倍數
→ LPH66       : 什麼加起來是 9 那是狗屁
→ LPH66       : 360 本來就是人為定的數字
→ LPH66       : 我隨便定個一圈是 123456789 度也會有一樣結果
→ lifestream  : 可是若令全圓是400度，半圓就是200度，沒有規律性耶
→ wohtp       : 360可以被2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10整除，所以做
→ wohtp       : n等分的時候比較方便
→ lifestream  : 我是嘗試用內角和公式下去推  180n-360 加起來都是9
→ wohtp       : 至於這個用十進位表示時候，位數和是9的狀況，跟
→ wohtp       : 9 = 10 - 1 這個事實比較有關係
推 LPH66       : 嗯, 123456789 會有用的根本原因就是 9 的倍數 XD
→ jpg10330    : http://tinyurl.com/ldp8cvo
→ lifestream  : 看了推文，感覺有開竅一點，再想想，數學真好玩
→ LPH66       : 所以 400 當然就沒有用了
→ lifestream  : 感謝，今天多學了MOD（模）這個用語
推 woieyufan   : 內角和那個跟108*5沒關係
→ woieyufan   : 所有凸多邊形內角和都是180度的倍數
→ woieyufan   : 所以只需要知道180是9的倍數就可證了
→ woieyufan   : 9的倍數 位數和必為9的倍數
→ woieyufan   : 因為10^n-1=(10-1)(10^n-1...)