Re: [微積] 級數收斂.發散 & 證明

[Eliphalet (敘雅賢慧)]

※ 引述《skyghostlove (Chris)》之銘言：
:                                                       1          2
: (1)Let {a } be a sequence defined by a = 2 , a   = (──) [a + ───].
:          n                            1       n+1     2     n    a
:                                                                   n
: Determine whether { a  }converges or diverges. If it converges, find
:                      n
: lim   ( a  )=?
: n→∞    n
: 請問這題a 項要怎麼從數列中看出來?
:          n


  我先說結論，如果會收斂且 a_n > 0，極限 L = 1/2 (L + 2/L)，所以 L = sqrt(2)

  大概證明以下兩點:

  1. 證明 {a_n} 為遞減數列

  2. {a_n} 有下界

  由 1. 2. {a_n} 會收斂



: -----------------------------------------------------------------------
:                                2
:                               t
:                            (- ─)
:                       x       2
: (2)prove the integral∫  e         dt  converges for all real x.
:                      -∞
: 這題我想不太到,好像用瑕積分也沒辦法算.煩請給個提示.



  從 ∫ exp(-t^2/2) dt 收斂下手，你又不用真的把它算出來...
      R

: -----------------------------------------------------------------------
:            ∞
: (3)Let {Xn}    be a sequence in R. If Xn→α as n→∞,show that
:            n=1
:  X + X  +...+X
:   1   2       n
: ──────── →α as n →∞
:        n


  任給 ε > 0， 取 M > 0 使得當 k>M， |x_k - α| < ε/2


  取足夠大 N 使得 ( |x_1 - α| + ... + |x_M - α| ) / N < ε/2


  因此，當 n≧ max{ N，M+1} 時，


    x_1 + x_2 + ... + x_n
 | ------------------------ - α | ≦ 1/n (|x_1 - α| + ... + |x_n - α|)
            n

                                    < ε/2 + ε/2 = ε

: 這種證明題請問該如何下手
: 以上三題目前所碰到的,由於沒答案.
: 想聽看看大家的做法
: 再一起討論
: 謝謝.

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→ yyc2008     : 第二行的|x_M - α|的M是N?
→ yyc2008     : 對不起 誤解意思了
推 alice90426  : 我想問如果第一題只解出L，足以說明它收斂嗎?
   不可， 例 a_{n+1} = 1/a_n ， a_1 = 2

   你可以解出 L = 1，但這個數列顯然不會收斂

   所以還是要先證明收斂

→ yyc2008     : 證明1,2就可以確定有極限
※ 編輯: Eliphalet (114.46.181.200), 12/22/2014 16:49:10