Re: [中學] 算數平均與幾何平均

[doa2 (邁向名師之路)]

※ 引述《mack (腦海裡依然記得妳)》之銘言：
: 已知兩正整數 a, b,其算術平均數 A = (a + b)/2,幾何平均數 B = (ab)^(0.5).
: 若 A 與 B 皆為兩位數正整數,且 A 與 B 的十位數及個位數數字恰好相互交換,
: 求 a + b 之值為?
: (請賜教)
設A=(a+b)/2 = 10m+n，B=√ab =10n+m，不失一般性假設a≧b≧1

由算幾不等式可知A≧B，故m≧n≧1

又A^2=(a+b)^2/4=(10m+n)^2

  B^2=ab=(10n+m)^2

兩式相減得(a-b)^2/4 = (11m+11n)(9m-9n)

即[(a-b)/2]^2=99(m^2-n^2)....(*)

得99|(a-b)^2  => 33|(a-b)

但由A≦99可知a+b≦198，則a-b≦197-1=196

故a-b=0,33,66,99,132,165

但(a-b)/2為整數，故a-b=0或66或132

(1)若a-b=132,代回(*)式得m^2-n^2=44 => (m+n)(m-n)=44

由m+n,m-n必同奇或同偶可知m+n=22,m-n=2 =>m=12,n=10 (不合)

(2)若a-b=66, 代回(*)式得m^2-n^2=11 => (m+n)(m-n)=11 => m+n=11,m-n=1

得m=6,n=5,a+b=130

(3)若a-b=0，即a=b，此時A=B，故m=n

若m=n=1, 則a=b=11, a+b=22

  m=n=2, 則a=b=22, a+b=44

  ...

  m=n=9, 則a=b=99, a+b=198

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.33.46.47
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→ bjiyxo      : 錯了，99|(a-b)^2->33|(a-b)
→ bjiyxo      : 所以漏了m=6,n=5,a+b=130這一組
→ bjiyxo      : a=98,b=32
歐對  忘了要分解XD
※ 編輯: doa2 (210.244.73.99), 12/25/2014 14:44:02