※ 引述《mack (腦海裡依然記得妳)》之銘言：
: 已知 x, y, z 皆為實數,且滿足 x^2/(y+z) + y^2/(z+x) + z^2/(x+y) = 0,
: 求 x/(y+z) + y/(z+x) + z/(x+y) 之值為
: (謝謝指教)
令 y+z = a ≠ 0
z+x = b ≠ 0
x+y = c ≠ 0
原條件可改寫為 Σ [(b+c-a)/2]^2/a = Σ (b+c-a)^2/4a = 0
cyc cyc
兩邊同乘四 Σ (b+c-a)^2/a = 0
cyc
部分展開 Σ [(b+c)^2-2a(b+c)+a^2]/a = Σ (a-2b-2c) + (b+c)^2/a = 0
cyc cyc
拆開輪換 -3(a+b+c) + Σ (b+c)^2/a = 0
cyc
同乘abc Σ bc^3 + 2Σ b^2c^2 - 3Σa^2bc = 0
sym cyc cyc
分解 (a+b+c)(Σ bc^2 - 5abc) = 0
sym
表示 a+b+c = 0 或 後者為0
(1). a+b+c=0
所求 Σ (b+c-a)/2a = -1 * 3 = -3
cyc
(2) Σ bc^2 - 3abc = 0
sym
所求 Σ (b+c-a)/2a = -3/2 + Σ (b+c)/2a
cyc cyc
= -3/2 + Σ bc^2/2abc = -3/2 + 5/2 = 1
sym
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※ 編輯: FAlin (36.237.68.34), 12/26/2014 16:33:31