推 bjiyxo : 受教了推！ 12/28 10:34
質數的間距(二)
探討無窮等差數列 a, a+q, a+2q, … 中的質數 可視為1維的問題
我們可繼續問2維 3維 … 以至於k維問題
所以接下來要問在無窮多的數對 (a,b), (a+1,b+1), (a+2,b+2), …, (a+n,b+n), … 中
是否有無窮多個質數對?
顯然 (a, b) = (0,1) 時 答案是否定的
因為{0,1}是2的完全剩餘系(complete residue system) 因此不論n為多少
n 或 n+1 必有一個是偶數 所以不可能有無窮多個質數對
那麼 (a, b) = (0,2) 情況如何呢?
這即是孿生質數猜想
因為{0,2}不是任何p的完全剩餘系 因此不論n為多少
n或n+2不必然是p的倍數
而且從機率的觀點
(0,2), (1,3), …, (N,N+2) 中的質數對 約有 C N/ (㏒N)^2 對
C約等於1.32 是 兩個相依事件的修正因子
藉助電腦的幫助 這個估計應是正確的
也就是 有無窮多對孿生質數是正確的
但是還没有人能證明
數學家接著考慮在無窮多的k組(k tuple) (h1,h2,…,hk), (h1+1,h2+1,…,hk+1), …, (
h1+n,h2+n,…,hk+n),…中
是否有無窮多個質數k組?
首先 我們必須排除不及格的k組
即 {h1,h2,…,hk} 不可以是任何p的完全剩餘系
否則 h1+n, h2+n, …, hk+n 必至少有一個是p的倍數
我們將合格的{h1,h2,…,hk} 稱為admissible set
當然 是否有無窮多個質數k組 還未能證明
於是數學家問一個較簡單的問題 無窮多的合格k組 (h1,h2,…,hk), (h1+1,h2+1,…,hk+1
), …, (h1+n,h2+n,…,hk+n),…中
是否有無窮多個k組 其組內至少有二個質數?
這個猜想在2013年首先被張益唐證明為真
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