Re: [微積] 積分證明

[MathforPhy (Wakka)]

※ 引述《brilliantl (brilliant)》之銘言：
: a>0,b>0
: 證明
: x^a(1-x)^b    對x做定積分(0,1)
: 等於    x^a(1-x)^b  對x做定積分(0,1)
: 該從何下手?
let u = 1-x, du = -dx, x = 1-u

   1                    0                     1
int x^a(1-x)^b dx = -int (1-u)^a(u)^b du = int (1-u)^a(u)^b du
   0                    1                     0

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推 brilliantl  : 這樣不是只是把x換成u來表示嗎?
推 LPH66       : 對, 後者把 u 換回 x 就是你要邆的東西了
→ brilliantl  : 抱歉我打錯了是要證等於  x^b(1-x)^a
推 LPH66       : 你仔細看第二行算式, 最前面是欲證的前半
→ LPH66       : 最後面把 u 換成 x 就是欲證的後半
→ LPH66       : 而能夠變過去的原因是第一行這個變數變換
→ brilliantl  : 1. -int (1-u)^a(u)^b du = int (1-u)^a(u)^b du
→ brilliantl  :   負號怎麼消掉?
→ brilliantl  : 2. 直接用u=x代回嗎?
→ MathforPhy  : 1.範圍  2.定積分
推 brilliantl  : 我懂了!!!謝謝你~
→ yueayase    : 這其實是beta function的性質