[其他] 質數的間距(四)

[JohnMash (Paul)]

質數的間距(四)

Maynard把GPY原先的取法改良成

w(n) = (Σ_{di|n+hi, i=1,…,k} λ_{d1,d2,…,dk})^2

其中

λ_{d1,d2,…,dk} = ( Π_{i=1 to k} μ(di) di) *

  Σ_{r1,…,rk, di|ri, (ri,W)=1}

     μ( Π_{i=1 to k} ri)^2 / (Π_{i=1 to k} φ(ri)) * F( ㏒r1/ ㏒R,…, ㏒rk/
 ㏒R)

其中 F(x1,…,xk)的條件是piecewise differentiable function
並只在 {(x1,…,xk) ∈[0,1]^k, x1+…+xk ≦1} 可以不是0
又常數R=N^(1/4 - ε ), ε 是待定小量

得到的結果是

S = S2 - ρ S1 = φ(W)^k N ( ㏒R)^k I(F)/ W^{k+1} * ( ㏒R / ㏒N * Ratio(F) -
ρ + o(1))

其中

Ratio(F) = Σ_{m=1,…,k} Jm(F) / I(F)

其中 Jm(F) 及 I(F) 為F的k維定積分 其詳細形式請見Maynard的文章
由於 F是限制在 {(x1,…,xk) ∈[0,1]^k, x1+…+xk ≦1}  上的 piecewise differenti
able function
因此 Ratio(F)有最小上界M
於是對任意小量 ε 存在 F0 使

Ratio(F0) > M - ε

又R=N^(1/4 - ε )
因此

S > φ(W)^k N ( ㏒R)^k I(F0)/ W^{k+1} * ((1/4 -  ε )(M -  ε ) - ρ + o(1))

令 ρ = M/4 - δ, δ是待定小量

讓ε足够小  N足够大時 有 S > 0

即有一n 介於N及2N之間 使 n+h1,…,n+hk 中至少有
[ ρ+1]=[M/4 - δ + 1]個質數

當k=105時 可得一合格k組 hk=600 並求出M>4
δ可取足够小 使[ ρ+1]=2

因此 證明了彼比差距在600以內的兩質數有無窮多


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