※ 引述《newsonica (十年光陰~~)》之銘言：
: 在凸四邊形ABCD中,角ABD = 角CBD = 角ADC = 45度,
: AB線段=a, BC線段=b, CD線段=c, DA線段=d (d不等於a), 試求:
: (a^2-b^2)
: ---------
: (c^2-d^2) 的範圍是?
: 答案是 1<所求< 根號(2)
: 這題該怎麼切入呢?
: 謝謝~~
初步想法
所求用比例就可以算出來了
利用正弦求出兩三角形邊長比 並利用共同邊AC去串起所有邊長比例
但角度未知要自己假設
想法1 隨意設一個theta
想法2 兩三角形各設兩個角度並找相互關係
我選擇想法二 因為算式比較簡潔
假設角A 與角C 所以角ADB=135-A 角CDB=135-C A+C=225
兩三角形正弦
BD a d
----- = ---------- = --------
sinA sin(135-A) sin45
BD b c
----- = ---------- = --------
sinC sin(135-C) sin45
所求 a^2-b^2 [sin(135-A)/sinA]^2-[sin(135-A)/sinA]^2
---------= ---------------------------------------
c^2-d^2 [sin45/sinC]^2-[sin45/sinA]^2
稍微整理一下
sinAsinC(cosAsinC-cosCsinA)
=-1+2-----------------------------
(sinA)^2-(sinC)^2
-2sinAsinCsin(A-C)
=-1+ ------------------------------
(sinA)^2-(sinC)^2
[cos(A-C)-cos(A+C)]sin(A-C)
=-1- --------------------------
[1-cos2A]/2-[1-cos2C]/2
[cos(A-C)-cos(225)]sin(A-C)
=-1-2------------------------
cos2C-cos2A
[cos(A-C)+sin45]sin(A-C)
=-1-2 -------------------
-2sin(C+A)sin(C-A)
若A=C 兩個三角形會全等 a=b c=d 所求分母為零 所以sin(A-C)不為0故消掉
cos(A-C)+sin45
=-1-2 ---------------
2sin(225)
=-1+1+2^0.5*cos(A-C)=2^0.5*cos(A-C)
又 0<A,C<135 且 A+C=225 所以 90<A,C<135
所求2^0.5*cos(A-C)=2^0.5*cos(2A-225)
-45<2A-225<45 所以 2^0.5/2<cos(2A-225)<1
所求 1<2^0.5*cos(2A-225)<2^0.5
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