推 alamabarry : 很驚人的直覺性 佩服 01/05 23:59
※ 引述《newsonica (十年光陰~~)》之銘言：
: 在凸四邊形ABCD中,角ABD = 角CBD = 角ADC = 45度,
: AB線段=a, BC線段=b, CD線段=c, DA線段=d (d不等於a), 試求:
: (a^2-b^2)
: ---------
: (c^2-d^2) 的範圍是?
: 答案是 1<所求< 根號(2)
: 這題該怎麼切入呢?
: 謝謝~~
連 AC, 下證 D 為直角 △ABC 斜邊上的旁心:
作 D 到 AB 延長線及 BC 延長線的垂線, 垂足分別為 H, K
由於 D 在∠ABC 角平分線上, 故 DH = DK
(由此易得 HBKD 為正方形)
作以 D 為圓心, DH = DK 為半徑的圓
由於 H K 為垂足故 AH, CK 皆切圓 D
下證 AC 切圓 D:
過 A 切圓 D 的兩條切線其一顯然是直線 AH
設另一切線交 BK 於 C', 切圓 D 於 P
不難證得 △AHD 全等 △APD, 故 DH = DP = DK, 故 △C'PD 全等 △C'KD
因此 ∠ADC' 為 ∠HDK 之一半為 45 度, 又 ∠ADC 亦為 45 度且 C 亦在 BK 上
因此 C = C', AC 切圓 D 得證
由此 D 為 △ABC 旁心得證, 此圓即為旁切圓
令正方形 HBKD 之邊長為 x
計算 c^2 = CD^2 = DK^2 + CK^2 = x^2 + (x-b)^2
d^2 = DA^2 = DH^2 + AH^2 = x^2 + (x-a)^2
相減得 c^2-d^2 = (x-b)^2 - (x-a)^2 = (2x-a-b)(a-b)
由旁切圓性質知 2x-a-b = (x-a)+(x-b) = AH + CK = AC = √(a^2+b^2)
因此若原題條件為 a≠b (而非 a≠d) 的話
代入原式後 a-b 即可消掉, 原式成為 (a+b)/√(a^2+b^2)
極大值由柯西不等式 (a^2+b^2)(1+1)≧(a+b)^2
兩邊開方再移項即得 (a+b)/√(a^2+b^2)≦√2
但等號成立於 a=b, 這不在題設狀況內故等號不會成立
極小值則觀察到此式為 △ABC 兩股和與斜邊的比
三角不等式告訴我們兩股和大於斜邊, 故此式大於 1
綜合以上, 原式範圍即為 (1,√2)
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LPH [acronym]
= Let Program Heal us
-- New Uncyclopedian Dictionary, Minmei Publishing Co.
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