Re: [中學] 音階與數學的指數關係

[wohtp (會喵喵叫的大叔)]

　　其實，音階跟指數本來是毫無關係的...



　　事實一：音波的頻率越大，人耳所聽到的的聲調感覺也越高。

　　事實二：給定兩個不同來源的音波，兩者頻率越接近簡單的整數比，人類聽
眾就越覺得兩個聲音很和諧。反之，人類會覺得聲音聽起來在打架。

　　以上兩點跟聲波的物理性質無關，跟我們的大腦怎麼運作有關。知道這兩點
以後，我們就可以問：把哪些不同的頻率放在一起會讓我們覺得悅耳？



　　注意到上面講的第二點，聲調調和與否只跟頻率比例有關，所以在「低得聽
不見」和「高得受不了」這兩個極端之間，我們可以自由選擇基礎頻率。這裡為
了數字簡單漂亮起見，我們把主音(tonic，Do)的頻率訂為400 Hz。



　　最簡單的整數比是 1:2，所以800 Hz的聲音跟400 Hz會處得非常好。

　　仔細看看這兩個數字。400 Hz的意思是，這個音波的波形每 1/400 秒會重
複。800 Hz 的週期固然是 1/800 秒，但是它當然每 1/400 秒也會重複。所以這
兩個音調聽起來在某種意義上應該十分相似。

　　事實上，800 Hz 比 400 Hz 高了八度，也就是中央 Do 和 高八度的 Do 的
差別。就說它們聽起來「一樣」吧。



　　下一個比例是 2:3:4，所以在中間可以塞一個 600 Hz 進去。這是 Sol。

　　把八度音階唱一遍，在兩個 Do 之間的聲調，Sol 是不是感覺最穩重最和諧
呢？這就是原因啦，因為它和主音的頻率比是最單純的。



　　接下來我們有 3:4:5 和 4:5:6，不過這兩個比例給出的是同一個音。把
500 Hz 和高上八度（兩倍）的 1000 Hz 放進音階裡面，這是 Mi。

　　Do-Mi-Sol 這個和弦是 4:5:6，Sol-Do-Mi 則是 3:4:5。所以我們會覺
得和弦好聽。



　　重複以上步驟，我們可以得到一系列聽起來互相調和的聲調。西洋音樂
找到七個音調以後就沒有繼續下去，這就是我們熟悉的大調音階：

Do-Re-Mi-Fa-Sol-La-Si-Do

其旋律比是：

8:9:10:11:12:13.5:15:16

　　這一類的古典調律法因為和弦特別好聽，所以到現代還是常用在acapella
之屬，仰賴大量合聲的音樂裡面，但是一般的音樂早八百年都已經改用十二
平均律了。

　　（好吧，八百年是誇飾，中國和歐洲大概都是在四百年前改變的。）

　　要是你對十二平均律有一點點認識，也就知道除了八度以外，現代的音
階裡面根本沒有整數比。這又是什麼黑魔法？




　　首先我們來看看「簡單整數比」的壞處在哪裡。

　　假設你是某大牌歌手的專屬伴奏。在公演之前，該大牌在後台突然跑去
找你，說她今天喉嚨狀況不好，希望等下第一、三、十二、十四這幾首比較
高的曲子降個音，其他則維持原狀就好。

　　「反正就是Mi變成Re，Re變成Do嘛，難不倒你這個職業的吧？」

　　假設你是很有風骨的那種人，這一聽當場翻桌了，阿淦哪有你說得那麼
簡單的啦。Re和Mi是9:10，Do和Re是8:9，根本不能互換啊！要轉調每根琴弦
都要重新調音過！你叫我在舞台上調過去又調回來嗎？



　　是的，問題就出在這裡了。假設我們把上面例子的400 Hz叫做X，X大
調各音調的頻率是

400-450-500-550-600-675-750-800

　　比X大調高一個音的Y大調卻是

    450-506.25-562.5-618.75-675-759.375-843.75-900

　　當然這樣拉高音調有些地方會差半音，但是其他根據現代樂理（以及十
二平均律）不會有差的地方，也出現了微妙的不同。例如450 Hz上面的音
調不是500 Hz而是506.25Hz。這就是 8:9 和 9:10 的差別。




　　音樂史上還有很多不同的調律法，目的大都是讓（部分）轉調變得可能。
例如畢哥達拉斯發明的這個比例：

　　8 : 9 : (10 + 1/8) : (11 - 1/3) : 12 : 13.5 : (15 + 3/16) : 16

　　好處是 Do-Re，Re-Mi，Fa-Sol，Sol-La，La-Si 都是 8:9，所以可以
做出有限制的轉調，但是碰到 Mi-Fa 和 Si-Do還是會破功。

　　只要我們還堅持整數比，完全自由的轉調就不可能。




　　上面畢老的這個音階，相鄰的兩個音比值不是 8:9（大步）就是 243:256
（小步）。然後我們發現一件有趣的事：

　　(256/243)^2  ~  9/8
        (9/8)^6  ~  2

　　一個八度大約等於六大步，一大步大約等於兩小步。

　　於是終於有人想到了：去他的整數比，直接切成十二等分吧，反正都嘛
差不多。



　　令 a = 2^(1/12)，以 f 為基礎頻率的七聲大調音階就變成：

　　f -  f * a^2  -  f * a^4  -  f * a^5  -  f * a^7  -  f * a^9
                                      -  f * a^11  -  f * 2 - ...

　　要高一個音？簡單，基礎頻率換成 (f * a^2) 就好：

　　(f * a^2)  -  (f * a^2) * a^2  -  (f * a^2) * a^4 -  (f * a^2) * a^5 - ...


　　每一個調性的每一個音都是 (f * a^n) 這樣的型式，所以轉調不再需
要重新調音了！




　　我們得到任意轉調的自由，但是原來漂亮的整數比已經不見了。如果有
哪個十五世紀或更早的音樂家穿越過來聽到現代音樂，一定會覺得我們的樂
器全部都微妙的走調。但是對於現代音樂家，尤其是那些一首歌不轉調七次
不過癮的J-Pop作曲家來說，這大概只是小小的犧牲吧。



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.110.246.232
※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1420565528.A.D71.html
推 yyc2008     : 推 w大從哪些資料學到這些理論的? 我記得彈鋼琴的時
→ yyc2008     : 後 只要記住相對位置 轉調好像都差不多 但是會有升
→ yyc2008     : 降的調整 大概就是這個原因?
→ recorriendo : 十二平均律是對"鋼琴"(或其他離散的樂器)的轉調方便
→ recorriendo : 像提琴這種可以調連續性音高的 還是會要求用純律
提琴的四條弦的確傳統上會調成整數比，因為聽拍頻調音很方便。但是手指按弦
的位置就完全看演奏者高興了。

如果不是從小到大科班訓練出身，譜上同一個D#，多少人會去刻意區分提琴跟鋼
琴的音高？

→ recorriendo : 還有 第一句"音階跟指數本來是毫無關係的"是錯的
→ recorriendo : 因為人的perception是遵守一個對數律
→ recorriendo : 就拿你的第一點響度來說 聲音的振幅變成2倍 聽起來
→ recorriendo : 不是2倍大聲 而是log(2)倍 這也就是分貝定義的由來
我從沒說過響度啊？

→ recorriendo : 音階會以倍數來定義 因人對音高的perception也同樣
→ recorriendo : 遵守類似對數律 事實上不只聽覺 其他感覺也有對數律
但是人對於調和音的perception很簡單：整數比就是好聽。

所以一開始在推導音階的時候根本沒有 log_2 出現的餘地，硬丟值進去也只是
拿到各種麻煩骯髒的無理數。我想說的只是這個而已。

→ recorriendo : 這些對數律在20世紀初引起很多人興趣 他們把它叫
→ recorriendo : "心理物理學" 視覺上的韋伯定律就是著名例子
※ 編輯: wohtp (123.110.246.232), 01/07/2015 04:31:41
推 bjiyxo      : w大真的很猛，彈鋼琴彈了十幾年第一次知道這些
→ recorriendo : 不是好不好聽的問題 400~800,800~1600這兩個頻率差
→ recorriendo : 聽起來"距離一樣" 這就是一個對數率
→ recorriendo : 有關小提琴 專家在同一首曲子裡不同和弦的地方例如
→ recorriendo : G降和F升 按的會不一樣 其實彈鋼琴會發現有時候譜裡
→ recorriendo : 用G降有時候用F升看起來很怪 其實因為那本來不一樣
→ recorriendo : 想到一個更簡單的例子 有時候譜裡寫E升不寫F 不明究
→ recorriendo : 裡的人會覺得多此一舉
推 alice90426  : 有沒有音樂家數學很好的八卦?
推 calvin4     : R大所說的同音異名問題，到了浪漫時期以後已經不是
→ calvin4     : 問題了哦。浪漫初期的蕭邦根本還沒遇到德布西等輩，
→ calvin4     : 但同音異名記譜根本已經用了一大堆，沒在管樂理。
→ bjiyxo      : 就現代樂理觀點，E#的原因只有F已經被定義成F#而不
→ bjiyxo      : 想改動它
→ recorriendo : 我說的意思就是現代人看起來根本怪 但之所以如此是
→ recorriendo : 其來有自 從小學現代樂裡的人 第一次看到E#一定覺得
→ recorriendo : 怪 如果F本來有升那一般人要記原來F音一定自然會寫
→ recorriendo : F還原 而不是E升
→ hjfreaks    : E# B# Fb Cb 在有些調裡面這樣寫才正常吧
→ bjiyxo      : r大不是這樣的，F#可能在那個小節還有其他個
→ bjiyxo      : 為了一個F結果改動其他所有的F#這樣大費周章，不如
→ bjiyxo      : 使用E#
→ recorriendo : 一個只看過鋼琴白鍵黑鍵的人不會認為E#是"正常"的
→ recorriendo : 會認為E#正常 就代表學過純律 知道它和F是不一樣
我必須說R大這裡真的搞錯了。

現代就算是什麼歐美菁英科班音樂學院的樂理，第一課一定會教circle of fifth對吧？
就算第一課不教，第二課也該教到了。而且都講得理所當然，好像這就是上帝的真理。

然後任何純律的circle of fifth都關不起來。


現代的樂理已經根本上把平均律當成是一切的起點，不僅僅只是用在「離散樂器」上面
的方便近似而已。

※ 編輯: wohtp (123.110.246.232), 01/08/2015 15:03:54


然後另外補充一下，古人對純律（整數比）不滿意的地方不只轉調，
還有五度音程關不起來的問題。



複習一下，八度音的頻率比是 1:2 = 2:4。
然後我們在正中間插一個音進去，得到 2:3:4，這裡的 2:3 就是完全五度音程。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(perfect fifth)

因為 2:3 是 1:2 之後，下一個最簡單的整數比，所以五度音聽起來特別和諧，
對音樂也特別重要。

所以，我們希望對音階裡面每個音，高出其五度的音都存在於同一個音階裡。



然後回頭看看我在上面推導出來的

8 : 9 : 10 : 11 : 12 : 13.5 : 15 : 16 : 18 : 20 : 22 ...

Do  Re  Mi   Fa   Sol   La    Si   Do   Re   Mi   Fa ...


Do (8) 高出五度是 Sol (12)，Sol 再高出五度是 Re (18 --> 9)，看起來一
切都很好...

哎，可是這裡是數學板，我幹嘛把說明限制在小學程度？

總之我們這裡做的是：


 1. 給定基礎頻率 f_0

 2. 遞迴定義  f_n  =  (3/2) f_(n-1)           if  (3/2) f_(n-1) < 2 f_0
                      (3/2) f_(n-1) * (1/2)   otherwise

                                              如果乘上 1.5 倍會跑出原來的
                                              八度以外，就除以二拉回來

請讀者自己證明數列 f_n 不會循環。


也就是說，就連「每個音都有五度音程」這麼卑微的希望，也不是任何頻率的
有限集合可以滿足的。




十二平均律解決這個問題的方法就是：去他的 2:3。
新的「完全五度」的比例是 1 : 2^(7/12) =  1 : 1.498...

放棄乾淨的整數比，接受一點小小的不協調，換取一個關得起來的有限集合音階。


※ 編輯: wohtp (123.110.246.232), 01/08/2015 17:24:26
推 woieyufan   : 我非常好奇為甚麼簡單整數比是用頻率而不是波長
→ woieyufan   : 用400Hz跟800Hz 假設前者波長800u 後者400u
→ woieyufan   : 中間的600u是533.33Hz
→ woieyufan   : 用波長的算法會失去聲音的美感嗎
→ woieyufan   : 我覺得很整齊的波也很美呀
人的聽覺認知必須以頻率為本位，這有個物理上的原因。

想要直接測量波長，你必須在同一個瞬間同時測量空間裡很多個點上面的振幅。
人的耳朵小小一個，只能做到在同一個地點持續測量不同時間的振幅，所以只能
直接感知頻率。

但是話說回來，1/4 : 1/5 : 1/6 = 15 : 12 : 10，也是很好的整數比啊。


※ 編輯: wohtp (123.110.246.232), 01/09/2015 00:15:33
推 woieyufan   : 我在想的是十二階或七階會不會差很多
推 HmmHmm      : 推 難得好文
→ recorriendo : 原發問者自己是專業演奏 他最後回文已經證明我說的
→ recorriendo : 平均律的確是離散樂器不得不作的妥協 連續的樂器如
→ recorriendo : 果到專業的層級整數比還是會有要求的