推 t0444564 : 已針對第二題的打字錯誤修正! 01/09 01:16
※ 引述《t0444564 (艾利歐)》之銘言：
: 分享一下這個競賽的題目XD
: 供板上有興趣的人玩玩看
: 註：由於次方於BBS上很難表達，故盡量以aa表a平方,aaa表三次方.
: 或以簡單的記號表達，如有疑問可以私信我或在下面回應~
: Problem 1. Let a,b,c be positive reals satisfy
: 6aa + 5ab + 4bb + 3bc + 2cc + ca = 21.
(1)
: Prove that:
: 5a + 3ab + 3b + 2bc + c + ca ≦ 15
(2)
pf.
x=1-a, y=1-b, z=1-c
(1) -> 6xx+5xy+4yy+3yz+2zz+zx=18x+16y+8z
r.h.s.(2) = 3xy+2yz+zx-(9x+8y+4z)+15
= 15-(6xx-xy+4yy-yz+2zz-xz)/2
= 15-(5xx+3yy+zz+(x-y)(x-y)/2+(y-z)(y-z)/2+(z-x)(z-x)/2)/2
≦ 15
"=" iff x=y=z=0
p.s. 沒用到a,b,c正實數?
: Problem 2. Let a,b,c be positive reals, prove that:
: 1 1 1 1 18(a+b+c)
: ----- + ----- + ----- + ----------------- ≧ -------------
: aaa bbb ccc aaa + bbb + ccc (aa+bb+cc)^2
題目有誤
a=b=c=1 不成立
: Problem 3. Let a,b,c be positive reals, prove that:
: aa + bb + cc aa bb cc
: -------------- ≧ ---------------- + ---------------- + ----------------
: 2(ab+bc+ca) 3aa + 2ab + bc 3bb + 2bc + ca 3cc + 2ca + ab
不會
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