Re: [中學] 5題高中證明題

[XII (Mathkid)]

※ 引述《idiont (supertroller)》之銘言：
: http://ppt.cc/rHmi
: 3.√2^√2為有理數，可表示成b/a，
: 兩邊同平方得到，2^√2 = (b/a)^2，
: 左邊是超越數，右邊是有理數的平方，
: 依然為有理數，與假設不符，
: 所以√2^√2是無理數
: 問題：要怎麼證明2^✓2是超越數？在wiki有看到這個定理，但是google過也沒看到相關的證明，還是可以用其他方式來證明這題？

3. 若√2^√2為有理數,取a=b=√2,則a^b=√2^√2為有理數.

   若√2^√2為無理數,取a=√2^√2,b=√2,則a^b=(√2^√2)^√2=√2^2=2為有理數.

(由Gelfond–Schneider定理:

 若代數數a,b,其中a≠0,1,且b不為有理數,則a^b為超越數

 =>√2^√2為超越數)

: 4.我設了一個方程式(X-m1/n1)(X-m2/n2)=0，
: 用X=a代入得到b，用X=b代入得到b(b-a+1)，
: 沒有找到什麼矛盾，是做法錯了還是我沒發現？

二根和與二根積為整數 => (x-m1/n1)(x-m2/n2) 為整係數多項式且首項係數為1

牛頓一次因式檢驗法 => 所有有理根均為整數 => 矛盾

: 7.n=1時f(1)=1，3nlog2(n)不是0嗎？
: 怎麼會f(n)<=3nlog2(n)？

應該是n≧2

f(2)=f(1)+f(1)+4=6≦3*2log_2(2)

若n>2,則

f(n)=f(floor{n/2})+f(ceiling{n/2})+2n

≦3(floor{n/2})log_2(floor{n/2})+3(ceiling{n/2})log_2(ceiling{n/2})+2n

≦3(n/2)log_2(floor{n/2})+3({n+1}/2)log_2(ceiling{n/2})+2n

=3(n/2)log_2(floor{n/2}*ceiling{n/2})+(3/2)log_2(ceiling{n/2})+2n

≦(3n/2)log_2(n^2/4)+(3/2)log_2({n+1}/2)+2n

=3nlog_2(n)-n+(3/2)log_2({n+1}/2)≦3nlog_2(n)

: 8跟9這兩題都沒有什麼頭緒...
: 請問版上的各位大大這幾題要怎麼證明？

8.

將N想成N個點,每次分開就把分開的點連線,則連線數即為得分

最後都分成1個點 => 任二點均有連線 => 總得分=C(N,2)

9.

由double counting可知:
  n
 Σ [n/i]≡#{1~n中的完全平方數} (mod 2)
 i=1
          n
故[√n]與Σ [n/i] 同奇偶
         i=1

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推 idiont      : 謝謝
→ idiont      : 第9題的double counting跟#是什麼意思
→ XII         : 算二次方法,#A=集合A的元素個數
→ WasabiSushi : d.c.就是用兩種方法計數,#是cardinality of a set.
推 idiont      : 第七題{n+1}是什麼意思
→ XII         : 括號
→ idiont      : 原式是怎麼推到小於等於下一航的
→ idiont      : *行
→ XII         : induction hypothesis
→ idiont      : 不懂為什麼根據double counting就會同餘 可以說一下
→ idiont      : 原理嗎
→ XII         : Σ[n/i]=#{(i,j):i|j,i,j∈{1,..,n}}