推 revengeiori : 已拜讀 04/03 13:37
※ 引述《revengeiori (大笨宗)》之銘言：
: 小弟算了幾題，有些題目不甚明白要怎麼算才好
: 請教一下
: 1. 在0，1，2，3，4，5，6這七個數字組成的七位數中，
: 不出現"246"與"15"的排列數為多少?
: 七位數共有 6*6!=4320種
: 去扣掉"246" => 4*4!=96
: 與"15" => 5*5!=600
: 再加回"246""15"同時出現 =>3*3!=18
: 2. 設<a_n>是公差不為零的等差數列，從集合{a_1，a_2，a_3，...，a_20}
: 中取出4個不同的數，使其 成單調遞增的等差數列，這樣的數列個數有幾個?
: d=1 => 17個
: d=2 => 14個
: ......
: d=6 => 2個 故共有57種
: 3. 在一個7*7的正方形(內部都是1*1的小正方形)中
: 今想從左下角走到右上角(最短路徑)，在這些路線中
: (1)自身成"點對稱"的路線有幾條?
: (2)成"軸對稱"的路線有幾條?
: 這題小弟沒有想法
最短路徑方法數如下
7 1
6 1 6
5 1 5 15
4 1 4 10 20
3 1 3 6 10 15
2 1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7
(1) 軸對稱
從(1,1)走到對角線(對稱軸) x+y=8 任一點(x,y)最短路徑一旦決定，
則從對稱軸該點(x,y)走到終點(7,7)的路徑也會確定(鏡射)
==> 1+6+15+20+15+6+1=64種
(2) 點對稱
最短路徑從(1,1)開始必通過(4,4)，且最短路徑一但確定，
則從(4,4)到終點(7,7)也會確定
==> 20種
: 4. 甲、乙兩人比賽，規定先淨勝3局獲勝，經過13局後，甲以8勝5負獲勝，
: 則這13局的勝負所有不同的情況為多少?
: 我的想法是考慮成 甲*7乙*5的排列方式
: 再去扣掉不合的部分，但是這邊就有點開始卡住了
最短路徑，x軸為甲勝場次，y軸為乙勝場次
從(0,0)走到(8,5)，甲勝則向右移一格，乙勝則向上移一格
在走到(8,5)前，限制條件為 x-y<3 且 y-x<3
y-x=3 x-y=3
Y ╱ ╱ Y
5 ╱┼┼┼┼┼┼ 5 27 81 162 243 243 243
4 ╱┼┼┼┼┼╱ 4 9 27 54 81 81
3╱┼┼┼┼┼╱ 3 3 9 18 27 27
2├┼┼┼┼╱ 2 1 3 6 9 9
1├┼┼┼╱ 1 1 2 3 3
0└┴┴╱ 0 1 1 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 X
==> 243種
: 5. 將4個相同的紅求和4個相同的藍球排成一行，
: 從左至右依次對應序號1,2,3,...,8，
: 若同色球之間不加區分，則4紅球對應序號之和小於4個藍球
: 對應序號之和的排列有幾種?
: 考慮紅球的位置 (1,2,3,4) (1,2,3,5) (1,2,3,6) (1,2,3,7) (1,2,3,8)
: (1,2,4,5) (1,2,4,6) (1,2,4,7) (1,2,4,8)
: (1,2,5,6) (1,2,5,7) (1,2,5,8)
: (1,2,6,7) (1,2,6,8)
: (1,2,7,8)
: (1,3,4,5) (1,3,4,6) (1,3,4,7) (1,3,4,8)
: (1,3,5,6) (1,3,5,7) (1,3,6,7)
: (1,4,5,6) (1,4,5,7)
: (2,3,4,5) (2,3,4,6) (2,3,4,7) (2,3,4,8)
: (2,3,5,6) (2,3,5,7)
: (2,4,5,6)
: 共29種，但想請教有沒有更好的列式
任意編號則全部共有 (8!)/[(4!)(4!)]=70 種方法
W(...) = 方法數
W(4紅球之和 > 4藍球之和) = W(4藍球之和 > 4紅球之和)
W(4紅球之和 > 4藍球之和)+W(4藍球之和 > 4紅球之和)+W(4藍球之和 = 4紅球之和)=70
先求W(4藍球之和 = 4紅球之和) = W(1,2,3,4,5,6,7,8 取四個數字和=18)
只能從左邊1~4任取兩個，則剩下兩個在右邊5~8就決定了，
e.g. 左邊取(1,3)，則剩下兩個為右邊的(6,8)
只能取左2右2，不可能取左3右1或左1右3
==> W(4藍球之和 = 4紅球之和) = C(4取2) = 6
W(4藍球之和 > 4紅球之和) = (70-6)/2 = 32種
: 6. 有12枚相同的棋子，甲乙輪流取子，每次1至2枚，取完為止，
: 設頭尾皆是甲取子的方法數為多少?
: 這題小弟也是沒什麼頭緒QQ
: 麻煩各位指點迷津
這解法也是類似最短路徑
X座標為甲拿棋總數，Y為乙拿棋總數
一開始從(0,0) 走到終點 (x,y), x+y=12
但限制條件是 2x-y>=0 x-2y<=0 ==> 終點(x,y)=(4,8)(5,7)(6,6)(7,5)(8,4)
但最後是甲拿一或兩顆棋，一開始是也是甲拿棋
則 (甲->乙) -> (甲->乙) -> .. (甲->乙) -> 甲 ，
終點前一步為(4,7)(4,6)(5,6)(5,5)(6,5)(6,4)(7,4)
有七種可能
每一次更新，考慮甲先乙後拿棋，則從E(x,y)
把A(x-1,y-1) B(x-2,y-1) C(x-1,y-2) D(x-2,y-2) 方法數加起來
(如果A,B,C,D其中某幾點在限制條件外則方法數算0)
E=? E=3+4+4+5=16 D -> 甲拿2 -> 乙拿2 -> E
e.g. B=4 A=5 ==> 4 5 C -> 甲拿1 -> 乙拿2 -> E
D=3 C=4 3 4 B -> 甲拿2 -> 乙拿1 -> E
A -> 甲拿1 -> 乙拿1 -> E
一開始起點 (0,0)=1，F為終點，綠色數字為終點前一步，
其他座標沒標表示在限制條件外，不用理他(或者算0)
乙
8 F
7 0 F
6 0 0 0 F
5 0 0 0 0 F
4 0 0 0 0 0 0 F
3 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0
1 0 0
0 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 甲
乙
8 F 8 F
7 0 F 7 0 F
6 0 0 0 F 6 0 0 0 F
5 0 0 0 0 F 5 0 0 0 0 F
4 0 0 0 0 0 0 F 4 0 0 0 0 0 0 F
3 0 0 0 0 0 3 2 0 0 0 0
2 1 0 0 0 2 1 2 2 0
1 1 1 1 1 1
0 1 0 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 0 1 2 3 4 5 6 7 8 甲
乙
8 F 8 F
7 0 F 7 0 F
6 0 0 0 F 6 0 0 0 F
5 0 0 0 0 F 5 0 0 0 0 F
4 1 0 0 0 0 0 F 4 1 5 0 0 0 0 F
3 2 5 0 0 0 3 2 5 5 0 0
2 1 2 2 1 2 1 2 2 1
1 1 1 1 1 1
0 1 0 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 0 1 2 3 4 5 6 7 8 甲
從左下更新到右上， 8 F
最後可得 7 4 F
6 1 9 32 F
5 3 13 26 32 F
4 1 5 11 13 9 4 F
3 2 5 5 3 1
2 1 2 2 1
1 1 1
0 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 甲
總共 4+9+32+26+32+9+4 = 116 種
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