Re: [中學] 2題問題請教~

[LPH66 (-6.2598534e+18f)]

※ 引述《wayne2011 (與乃瑜的無感關係)》之銘言：
: ※ 引述《nokol (騷人墨客)》之銘言：
: : 第二題
: : x^3+ax^2+bx+c=0的三個根為a、b、c，求(a, b, c)為何？
: : 感覺不出來該如何下手，請教站上大師指點方向，感謝，謝謝您。
: 2.用根與係數
: a+b+c=-a
: ab+bc+ca=b
: abc=-c
: 當x=1時,a+b+c=-1
: 則a=1,b=-1,c=-1
: 最後兩行
: 臨時猜出來的...

: 推 WinRARdotrar: 最後兩行不用猜 a+b+c=-1 → a=1, abc=-c → ab=-1   11/18 02:15
: → WinRARdotrar: → b=-1 → c=-1                                   11/18 02:15
: → wayne2011   : 會這樣講的原因就是發現到1為x^3+ax^2+bx+c=0之一根  11/18 09:38
: → wayne2011   : 才不會讓整個計算看來麻煩...                       11/18 09:39
: → Desperato   : 還有一個non-trivial的解啊XD                       11/18 11:32
: → Desperato   : 而且那個解正是計算麻煩的主因                      11/18 11:33
: 推 LPH66       : b≒-1.77 那個嗎 XD                                11/18 18:43
寫一下我做的結果好了, 因為這個數字確實頗醜 XD

全部解的分佈 Desperato 在原推文下有寫了:

c = 0 有兩個 trivial 解 (0,0,0) 跟 (1,-2,0)

c≠0 則也是兩解, 一解是上面寫的 (1,-1,-1), 另一解則是這個 non-trivial 的解

在 c≠0 這邊做到最後會得到 (b+1)(bc-b-c) = 0

如果 b+1 = 0 就是 (1,-1,-1) 這解

而 b≠-1 的話只能是 bc-b-c = 0 或寫為 (b-1)(c-1) = 1

和 ab = -1 以及 a+b+c = -a 合併起來可以化簡成 b^3-2b+2=0

我想這就是為什麼 Desperato 原本以為這邊有四解, 後來才發現只有兩解

b^3-2b+2=0 有一實根兩虛根, 實根值約為 b≒-1.7693

                                3                 3
(根式精確值可以代卡當公式求得為 √(-1+(√57)/9) + √(-1-(√57)/9) )

對應的 a,c 值約為 a≒0.5652, c≒0.6389

(這不要叫我寫根式精確值, 不能拆的三次根式化簡是惡夢...)

這就是那第四個 non-trivial 解

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有人喜歡邊玩遊戲邊上逼；        
    也有人喜歡邊聽歌邊打字。      
        但是，我有個請求，          
            選字的時候請專心好嗎？
                                      -- 改編自「古 火田 任三郎」之開場白

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.195.39.85
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1447867136.A.8CC.html
※ 編輯: LPH66 (123.195.39.85), 11/19/2015 01:19:44
推 Tiderus     : 怎樣爆出(b+1)(bc-b-c) = 0呢？
首先若 c≠0 則 ab = -1 這應該沒問題 (從 abc=-c 來的)

所以 a = -1/b 代入 ab + bc + ca = b 移項去分母

即得 b^2 c - c - b^2 - b = 0

因式分解可得 (b+1)(c(b-1)-b) = 0, 即是 (b+1)(bc-b-c) = 0
※ 編輯: LPH66 (123.195.39.85), 11/19/2015 08:38:21
推 Tiderus     : 原來如此，我用2a = -(b+c)做不出