Fw: [問題] 一題Bayes estimate

[lin6613 (lin)]

※ [本文轉錄自 Statistics 看板 #1NRHrwXB ]

作者: lin6613 (lin) 看板: Statistics
標題: [問題] 一題Bayes estimate
時間: Fri Jun 24 19:45:59 2016

    Let X be a single observation frome a geometric distribution with density


 P(X=x|Θ) = (1-θ)(θ^x) for x=0,1,2,3,... & 0≦θ＜1  .


 Want to estimate θ.    with loss function L(θ,d)=(θ-d)^2


                             1/3 , if θ=0
Prior distribution P(θ)= {
                             2/3 , if θ=3/4


我現在想要算posterior density 麻煩幫大家看我有沒有哪邊算錯


            P(Θ,X)       P(X|Θ) P(θ)
P(Θ|X=x) =--------- = -----------------
             P(X)       Σ P(X|Θ) P(θ)    這邊是貝氏定理
                        θ


                    (1-θ)θ^x  P(θ)
          =---------------------------------------
             (1-0)0^x (1/3) + (1-3/4)(3/4)^x (2/3)      分母左邊=0


              0    if θ=0
          = {
              1    if θ=3/4


如果這條件機率沒算錯，接下來繼續算posterior mean

E(Θ|X=x) = ΣθP(Θ|X=x) = 0 0 + (3/4)(1) = 3/4
            θ


麻煩各位了



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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Statistics/M.1466768762.A.84B.html

※ 編輯: lin6613 (106.1.9.137), 09/27/2016 11:11:18
→ doom8199    : 有幾個問題，首先是待估參數看起來是屬於實數, 可是
→ doom8199    : 寫法卻是用離散算法. 例如 prior 可寫成
→ doom8199    : (1/3)δ(θ) + (2/3)δ(θ-3/4) , 而全機率定理改
→ doom8199    : 積分;  第二個是只有考慮一個事件?
→ doom8199    : 最後是你沒用到 loss function
→ lin6613     : 題目有說要考慮離散的prior     抱歉我沒有打清楚
→ lin6613     : 第二個是因為loss function 是(θ-d)^2
→ lin6613     : 所以要求Bayes estimate的話就要算posterior mean
→ lin6613     : 想要算出這個貝氏估計跟T(X)一樣
→ lin6613     : T(0)=1/4 , T(X)=3/4 for x=1,2,3,...
推 doom8199    : 所以你的 d 是 θ 的 estimator 嗎 XD
→ doom8199    : 另外你算出來跟解答(?) 不一樣, 我想應該是因為 x=0
→ doom8199    : 時, 0^0 定義為 1 , 所以事後機率分母要多加 1/3
→ lin6613     : 原來如此 非常謝謝你
→ lin6613     : 這真是太神奇了
→ lin6613     : 0^0