[分析] 證明正函數若可積，則積分大於零。

[cyt147 (大叔)]

老實說，標題內的命題我不確定對不對，只是憑著積分與面積的連結寫下的，

現在想用小Rudin的第六章證明為真，也就是用Darboux積分，但目前只能

得到upper integral、lower integral都不小於零，搜尋math.stackexchange

看到有人用Lebesgue的東西(almost everywhere之類的)，這真的要用到

這個嗎?我知道函數可積的話，它在連續這件事情上不能做的太糟(事實上，我想避開它

，不去用後面的東西)，但難道不能只用

1.函數值為正(連連續什麼的都不特別講)
2.sup、inf

這兩樣單單純純的去比大小、跟它尬到底嗎?請賜教，謝謝!


註:原PO只看過大一微積分+小Rudin前六章(目前看到6.13 Theorem)
※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 08/16/2017 09:13:56
推 czk0622     : 標題的命題不是積分定義弄一弄就出來了嗎?
→ czk0622     : 因為可積，所以任意分割的上和極限等於下和極限
→ czk0622     : 且極限存在，然後計算上和極限或下和極，發現大於0
推 Desperato   : 直接證上和吧 既然是正函數 下和不好說 上和肯定大
→ Desperato   : 如果正函數是指所謂非負 那其實有可能真的積分是0
這邊指的是strictly positive，不是non-negative

推 arthurduh1  : 在 domain 抓個測度大於 0 的 compact set
→ arthurduh1  : 啊...不用那麼麻煩, 但要估的應該是下和
→ arthurduh1  : 某個下和>0, 就完工了
→ Desperato   : 啊 對 應該是下和...
→ arthurduh1  : 可是還是弄不出來, 想到簡單的方法都是測度來的...
※ 編輯: cyt147 (140.122.140.36), 08/16/2017 11:58:41
推 edgar111    : 抓某個區間的下和>0 應該就可以了 因為原函數>=0
→ edgar111    : 所以說inf會>=0 這樣的話只要有一個>0就可以了
推 edgar111    : 打錯 第一行是 原函數>0 (過好久才發現...