作者XII (Mathkid)
看板Math
標題Re: [分析] 證明正函數若可積,則積分大於零。
時間Wed Aug 16 14:26:24 2017
※ 引述《cyt147 (大叔)》之銘言:
: 老實說,標題內的命題我不確定對不對,只是憑著積分與面積的連結寫下的,
: 現在想用小Rudin的第六章證明為真,也就是用Darboux積分,但目前只能
: 得到upper integral、lower integral都不小於零,搜尋math.stackexchange
: 看到有人用Lebesgue的東西(almost everywhere之類的),這真的要用到
: 這個嗎?我知道函數可積的話,它在連續這件事情上不能做的太糟(事實上,我想避開它
: ,不去用後面的東西),但難道不能只用
: 1.函數值為正(連連續什麼的都不特別講)
: 2.sup、inf
: 這兩樣單單純純的去比大小、跟它尬到底嗎?請賜教,謝謝!
: 註:原PO只看過大一微積分+小Rudin前六章(目前看到6.13 Theorem)
以下可積均指 Darboux 可積
Prop. 若 f > 0 且在 [a,b] 可積, 則 int_a^b f(x) dx > 0.
proof.
由 f≧0 可得 int_a^b f(x) dx≧0.
假設 int_a^b f(x) dx = 0.
由 inf{U(P,f):P} = 0 可知: 存在 a≦a_1 < b_1≦b 使得 f < 1 on [a_1,b_1].
令 f_1 = f*I_[a_1,b_1].
(即 f_1 與 f 在 [a_1,b_1] 上相同, f_1 在其他地方為 0)
易知 f_1 在 [a,b] 可積且 int_{a_1}^{b_1} f_1(x) dx = 0.
故存在 a_1≦a_2 < b_2≦b_1 使得 f_1 < 1/2 on [a_2,b_2].
......
易知 f_{k-1} 在 [a,b] 可積且 int_{a_{k-1}}^{b_{k-1}} f_{k-1}(x) dx = 0.
故存在 a_{k-1}≦a_k < b_k≦b_{k-1} 使得 f_{k-1} <1/k on [a_k,b_k].
令 f_k = f_{k-1}*I_[a_k,b_k].
......
因 ∩_k [a_k,b_k] 非空, 故存在 y∈∩_k [a_k,b_k].
故 0 < f(y) = f_k(y) < 1/k for all k in Z^+, 矛盾.
因此 int_a^b f(x) dx > 0.
※ 編輯: XII (140.122.136.108), 08/16/2017 14:49:50
推 arthurduh1 : 推~ 原來還是要看上和 08/16 17:43
推 Desperato : 推 08/16 19:27
推 cyt147 : Thanks. I'll think about it. 08/17 08:03