[線代] 三階方陣的Jordan form

[cyt147 (大叔)]

有個問題想請教大家，但希望解題的方法能侷限在Friedberg線代4e的7.1節The Jordan

Canonical Form I，不涉及7.2節The Jordan Canonical Form II的點圖，因為不才希望

先掌握7.1節的內容。

               2  2  3
問題:求矩陣A=( 1  3  3 )的Jordan form
              -1 -2 -2

這題來自一位UCLA老師放在網路上的講義，權且貼出當作驗算:

http://www.math.ucla.edu/~jlindquist/115B/JCFBases.pdf

http://www.math.ucla.edu/~jlindquist/115B/JCF.pdf

以下是我的解法，用的是7.1節學到的東西:

先求characteristic polynomial，得det(A-tI)=-(t-1)^3，所以1是A唯一的eigenvalue，

而且它的algebraic multiplicity是3。令K為A對應1的generalized eigenspace、E為A對

應1的eigenspace。


目標:Find a basis β for K so that β is a disjoint union of cycles of
     generalized eigenvectors of A corresponding to 1.


根據Theorem 7.4.(c)，dim(K)等於1的algebraic multiplicity，也就是3，所以β只有
三種可能:
1.β is a disjoint union of three cycles of length 1.
2.β is a disjoint union of two cycles of respective lengths 1 and 2.
3.β is a cycle of length 3.

                   -2    -3
計算E，發現E=span{( 1 ),( 0 )}，所以dim(E)=2，這讓我排除第一種可能，否則
                    0     1

三個cycle的initial vector會讓E有三個向量線性獨立，問題來了，不才之前碰到的都

是dim(E)=1，可以一口氣砍掉第一種可能跟第二種可能，接著就順順的做下去，但是現在

只能砍掉一個，我該怎麼辦？我大概看了那份UCLA的講義，它似乎暗示著只能走第二種可

能，那第三種可能是怎麼排除的呢？請賜教，謝謝。
※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 12/09/2017 12:31:15
※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 12/09/2017 12:32:31
剛剛算了一下，得到一個初步的結果:

It can be shown that if x is the end vector of a cycle of length 3,

      0 0 0     0
then (0 0 0)x≠(0). 顯然，β沒有一個向量能滿足這個條件，因此不需考慮第三種
      0 0 0     0

可能。這題似乎就這麼結束了，但我覺得不太踏實，會不會有矩陣不具備上述條件？我是

說，會不會有矩陣只能排除第一種可能？上述的美好結果具有一般性嗎？
※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 12/09/2017 13:48:13
推 annboy      : https://i.imgur.com/yR6MIyc.jpg
→ annboy      : 取c2=-c1可以得到一個向量[1,1,-1]的轉置
→ annboy      : 解(A-I)y=上述向量，可以得到廣義特徵向量[1,0,0]轉
推 annboy      : [1,1,-1]轉,[1.0.0]轉，是一個cycle
→ annboy      : 算完特徵空間，發現只有2維，因為只有一個特徵值，
→ annboy      : 廣義特徵空間一定是3維。
→ annboy      : 令B=(A-I)^2=O，因此沒有向量x能滿足Bx不為0向量
→ annboy      : 這樣能排除掉情況3;這題的關鍵應該就在於如何找出
Thanks for your feedback. But you just repeated the result I had derived.

→ annboy      : length=2的那個cycle的initial vector，我是看到
→ annboy      : 因為這個initial vector，是特徵空間的中的其中一個
→ annboy      : 所以如果不是看到數字這麼特別，可能很不好算
What I am concerned about is whether there is a matrix for which we can't
narrow down three possibilities of β to a single one. Something like an
existence problem. Anyway. Thanks.
※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 12/10/2017 11:39:35
→ annboy      : 因為我的手上的版本跟你不同，我附上圖片:
→ annboy      : https://i.imgur.com/A88xBvz.jpg
→ annboy      : https://i.imgur.com/A88xBvz.jpg
→ annboy      : https://i.imgur.com/7W7eDrq.jpg
→ annboy      : 不好意思 第一張應該是這張
→ annboy      : https://i.imgur.com/25FVSzj.jpg
→ annboy      : 雖然沒有直接說明，但結合這兩個定理，你提的三個
→ annboy      : 可能只會滿足其中一個;假設2.3.同時滿足，這樣就會
→ annboy      : 找到至少4個獨立的向量，那一些定理就被推翻了
→ annboy      : 這題會解得特徵空間是2維，因此可得知至少有2個
Somehow, you just can't leave the matrix A behind.
→ annboy      : cycle，我們已經得知其中一個cycle的length>1
→ annboy      : 由上述定理推論length一定是2，否則就表示你找到定
→ annboy      : 理的反例。
→ annboy      : 總結:三種可能一定只滿足一種，且是在求出特徵值和
→ annboy      : 特徵空間就已經決定了。
Noted with thanks. The reward will be given later on.

Still, the problem (not for the matrix A) remains to be solved, and I hope
someday I can figure it out after finishing section 7.2.  Intuitively,
I think the question can be answered by the uniqueness of Jordan forms
up to the order of Jordan blocks.

This article is closed.
※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 12/10/2017 17:28:28
推 annboy      : 謝謝你的紅包，後面你應該會遇到一個6重根的example
→ annboy      : ,這樣的話點圖就不是三分法，而是要算(A-I)^p的rank
→ annboy      :  才能判斷，只要超過3階，可能性就會變很多。
推 annboy      : 比方說4重根的點圖就有：（4),(3,1),(2,2),(2,1,1),
→ annboy      : (1,1,1,1)，共5種可能，單算特徵空間無法判斷
推 annboy      : 如果特徵空間2維，點圖有2種可能
→ annboy      : 我之前或許誤會你的意思了，我一直以為你是要問所
→ annboy      : 有的三階方陣。四階以上你需要dot diagram 才不容
→ annboy      : 易亂掉
推 arthurduh1  : If 3. holds, by Thm. 7.1.(b), dim span β = 3.
→ arthurduh1  : That is, span β = E. It contradicts Thm. 7.1.(a
→ arthurduh1  : sorry, the argument is not valid.
→ arthurduh1  : Let β = v1 (end), v2, v3 (init.)
→ arthurduh1  : span {v1, v2} ∩ E has dim 1. Pick a nonzero
→ arthurduh1  : v = a v1 + b v2 in it. 0 = (A-λI)^2 v = a v3
→ arthurduh1  : means v = b v2, contradicts Thm. 7.1.(a)
→ arthurduh1  : (v2, v3 are both eig. vec.)