[代數] 關於有限交換群的問題

[shiburin (希布凜)]

前言:

如果 A 是一個加法有限交換群, order 是 n = p1^(r1)...pk^(rk)

那麼有這個 direct sum 的分解:

A = A1+...+Ak, 其中 Ai 是滿足 pi^(ki)x = 0 的 x 組成的

問題:

現在我要證明 Ai 的 order 是 pi^(ki)

我原本想從 Ai 的 order 跟 pi^(ki) 之間可能存在不等式的思路去證

但是想不出來

請教各位

謝謝

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→ Vulpix      : 分解定理已有？那 A_i 一定是 p_i^n_i 這麼大。
→ Vulpix      : 全部乘起來要剛好是 n。然後使用算術基本定理。
→ Vulpix      : 但一般證明分解定理的時候都會用到 Sylow 定理，
→ Vulpix      : A_i 就是 Sylow p_i-group，order 就是 p_i^r_i。