Re: [其他] 如何用軟體判斷不等式恆真？

[coldeye (知其不可奈何而安之若命)]

謝謝回文。

先複述一下你的(1)和(2)。
(1) b^n*b'^m < a^m*a'^n
(2) b*b' <= a*a'

你的意思是說：K:{若b*b' > a*a'，則b^n*b'^m >= a^m*a'^n}，是嗎？
因為若(1)則(2)，等同於若非(2)，則非(1)。

若是的話，那麼我必須說你所謂的反例，恰巧是上面K的反例。

怎麼說呢？
原本的條件有0<m<n，且m,n為自然數，
讓我們假設m=1, n=2好了。
加上你提供的數字：a=0.25, a'=0.6, b=0.2, b'=0.8。
0.2*0.8 >= 0.25*0.6，表示非(2)。
0.2^2*0.8 < 0.25*0.6^2，卻表示(1)。
由於非(2)&(1)，所以K不成立。

※ 引述《Desperato (肥鵝)》之銘言：
: 給定 0<a,a',b,b'<1, a+a'<=1, b+b'<=1
: b<a, 1/2<a', 0<m<n, m,n為自然數
: (1) b^n*b'^m < a^m*a'^n
: (2) b*b' <= a*a'
: (Thm1) (1) iff (2)
: (pf) Note that b/a' < 1
: "=>" if b/a' > a/b', then b/a' => (a/b')^r
: for some r=m/n close to 1
: thus (b/a')^n => (a/b')^m
: "<=" (b/a')^n < (b/a')^m <= (a/b')^m
: (Thm2) (2) does not hold
: (pf) a=0.25, a'=0.6, b=0.2, b'=0.8
: is a counterexample
: Therefore (1) fails.
: one can use Thm1 to obtain
: a counterexample for (1)
: p.s. if a+a'=b+b', then (2) holds
: p.s. if no 1/2<a', then b/a' may => 1
: which make (1) fails when m, n is big
:
: ----
: Sent from BePTT
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 84.13.86.217
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1558646001.A.6CC.html
※ 編輯: coldeye (84.13.86.217), 05/24/2019 05:31:39
推 Desperato   : (1) 是 for all m<n integer
→ Desperato   : 如果你的要求是固定 m, n 的話
→ Desperato   : 那 (1) 的證明就會給你反例 所以必定fails
→ Desperato   : ex: a+a'=b+b'=1, a=0.4, b=0.4-0.0...01
→ Desperato   : 隨著 0.0...1 的 0 越多 b 會趨近於 a
→ Desperato   : 嗯 好像反了 不太對
→ Desperato   : 重來 要證(b/a')^n < (a/b')^m 全對或有反例
推 Vulpix      : 直接做線性規劃呢？
→ Desperato   : 沒有1/2<a' 的話 只要 b/a'>1>a/b' 必炸
→ Desperato   : 設 b+b'=1, b=a=1/2-e, a'=1/2+e^2
→ Desperato   : 則 (b/a')^(2-d)/(a/b') = [(1-4e^2)/(1+2e^2)] [
→ Desperato   : (1+2e^2)/(1-2e)]^d
→ Desperato   : d>0, 只要 e 夠小 上面這個數字會大於1
→ Desperato   : 所以當 n<2m 的時候 會有反例
→ Desperato   : n >= 2m 只要證明 n=2, m=1 就夠了
→ Desperato   : (b/a')^2 < (2b)^2 < (2b)/(2b') < a/b'
→ Desperato   : 第一個是a'>1/2, 第三個是b<a
→ Desperato   : 第二個是 (2b)(2b') < (b+b')^2 <= 1