作者coldeye (知其不可奈何而安之若命)
看板Math
標題Re: [其他] 如何用軟體判斷不等式恆真？
時間Fri May 24 21:59:30 2019
:
: ※ 引述《Desperato (肥鵝)》之銘言：
: : 給定 0<a,a',b,b'<1, a+a'<=1, b+b'<=1
: : b<a, 1/2<a', 0<m<n, m,n為自然數
: : (1) b^n*b'^m < a^m*a'^n
附上我的證法，不知道有沒有錯誤。
[b^(n-m)] [b^m*b'^m]
<= [b^(n-m)][(b+b')^2m / 2^2m] (from the AM-GM inequality)
<= [b^(n-m)][(b+1-b)^2m / 2^2m] (from b+b'<= 1)
= b^(n-m)/2^2m
< [b^(n-m)] [a’^2m] (from 1/2 < a')
< [a^(n-m)] [a’^2m] (from b < a)
< a^m * a’^n (from 1/2 < a' & a+a'<= 1)
我是想拿掉1/2 < a’這項條件，或是找到比它更寬鬆的條件，
或是有其他比AM-GM範圍更緊的不等式
但目前找不到就是了
這也是為什麼我想藉助程式的原因之一 可以設定一些條件讓它去跑
看看結論是否成立
: --
: ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 84.13.86.217
: ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1558646001.A.6CC.html
: → Desperato : 重來 要證(b/a')^n < (a/b')^m 全對或有反例 05/24 12:24
: → Desperato : 沒有1/2<a' 的話 只要 b/a'>1>a/b' 必炸 05/24 12:28
: → Desperato : 設 b+b'=1, b=a=1/2-e, a'=1/2+e^2 05/24 12:42
: → Desperato : 則 (b/a')^(2-d)/(a/b') = [(1-4e^2)/(1+2e^2)] [ 05/24 12:50
: → Desperato : (1+2e^2)/(1-2e)]^d 05/24 12:50
這邊我看不太懂 b<a 為何這邊設b=a?
另外 就算b=a好了 如何得出[(1-4e^2)/(1+2e^2)]?
應該是[(1-4e^2)/(1+2e^2)^2] 是嗎?
: → Desperato : d>0, 只要 e 夠小 上面這個數字會大於1 05/24 12:52
: → Desperato : 所以當 n<2m 的時候 會有反例 05/24 12:52
: → Desperato : n >= 2m 只要證明 n=2, m=1 就夠了 05/24 12:53
: → Desperato : (b/a')^2 < (2b)^2 < (2b)/(2b') < a/b' 05/24 12:57
: → Desperato : 第一個是a'>1/2, 第三個是b<a 05/24 12:58
: → Desperato : 第二個是 (2b)(2b') < (b+b')^2 <= 1 05/24 13:00
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 84.13.86.217
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1558706371.A.807.html
推 Desperato : 那邊是找反例 找到就成 確實我少寫平方但無所謂 05/24 22:17
我不懂 題目給定的條件就是b < a
為何要設定b=a?
找反例不是應該是要根據題目的條件去找 找到了違反結論的情況才算反例?
→ Desperato : 因為 1-2e 夠強 其他 e^2 不夠看 05/24 22:18
→ Desperato : 把 e 當未知數泰勒展開 會變成 1 + 2de + ... 05/24 22:23
→ Desperato : 只要 e 夠小就行了 05/24 22:23
→ Desperato : 噢噢糟糕 那就設 b=1-2e 吧 05/24 22:26
→ Desperato : 果然好麻煩啊 漏洞一堆orz 05/24 22:27
→ Desperato : 嗯 這樣不太好 e 會多出來 05/24 22:32
※ 編輯: coldeye (84.13.86.217), 05/24/2019 22:40:39
→ Desperato : b+b'=1, 2a=1-e+e^2, 2b=1-e, 2a'=1+e^2 05/24 22:43
→ Desperato : 因為我忘了XD 05/24 22:43
→ Desperato : 其實我想做的就是 b, 1/2, b' 等距離 e 05/24 22:44
※ 編輯: coldeye (84.13.86.217), 05/24/2019 22:44:25
→ Desperato : a, a' 只比 b, 1/2 多一點點點 05/24 22:44
→ Desperato : 這樣當 e 趨近 0 時 (b/a')^2 會往上趨近 a/b' 05/24 22:46
※ 編輯: coldeye (84.13.86.217), 05/24/2019 22:49:50
→ Desperato : 所以只要 2 改成 2-d 就會超出 a/b' 那時就是反例 05/24 22:48
※ 編輯: coldeye (84.13.86.217), 05/24/2019 22:53:49