Re: [微積] 求極限 (ln(1+x^2))^2-(2ln(1+x))^2

[sudiot (大白癡)]

※ 引述《G41271 (茶)》之銘言：
: 如題，求當x→∞時，
: (ln(1+x^2))^2 - (2ln(1+x))^2 趨近於？
: 其中ln表示自然對數。
: 軟體跑出來是0，但我寫不出像樣的證明，故發文求助，
: 還請大家不吝指導，感謝～

使用夾擠定理
在x>1的區域，ln(1+2x+x^2) > ln(1+x^2) > ln(x^2) > 0
所以
[ln(1+2x+x^2)]^2-[2ln(1+x)]^2 >
   [ln(1+x^2)]^2-[2ln(1+x)]^2 >
     [ln(x^2)]^2-[2ln(1+x)]^2

第一個是0，中間是我們的題目，只要證明第三個在x→∞時為0就完成證明了

[ln(x^2)]^2-[2ln(1+x)]^2=
4[lnx-ln(1+x)][lnx+ln(1+x)]

使用mean value theorem，∃δ∈R：x<x+δ<x+1使得
lnx-ln(1+x)=[1/(x+δ)][x-(x+1)]=-1/(x+δ)
其中δ不是常數，δ=δ(x)
所以
4[lnx-ln(1+x)][lnx+ln(1+x)]=-4[lnx+ln(1+x)]/(x+δ)
=-4{[lnx+ln(1+x)]/x}[x/(x+δ)]

因為x<x+δ<x+1，所以lim[x/(x+δ)]=1
                    x→∞

最後使用L'Hôpital's rule
lim [lnx+ln(1+x)]/x = lim [1/x + 1/(1+x)]/1 = 0
x→∞                 x→∞

所以lim-4{[lnx+ln(1+x)]/x}[x/(x+δ)] = -4*0*1 = 0
    x→∞

證明完畢。

至於原文一樓及Heaviside所說的方式不能直接使用的理由在於
「when x→∞, A(x)→B(x)」的寫法會造成誤解
它應該被寫成
lim [A(x)-B(x)] = 0
x→∞

這並不表示在x→∞時，A可以換成B
例如：
lim{[A(x)]^2-[B(x)]^2}
x→∞
就不能直接把A換成B得到0
因為
lim{[A(x)]^2-[B(x)]^2} = lim [A(x)-B(x)][A(x)+B(x)]
x→∞                    x→∞
如果A和B在x→∞時會趨向∞，則要用L'Hôpital's rule才能知道結果是多少。

像是 A(x)=exp(x)+1/x   B(x)=exp(x)+1/(1+x) 就滿足
lim [A(x)-B(x)] = 0
x→∞
但
lim{[A(x)]^2-[B(x)]^2} ≠ 0
x→∞

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※ 編輯: sudiot (42.75.49.236), 06/02/2019 06:12:23
※ 編輯: sudiot (42.75.49.236), 06/02/2019 06:56:21
推 G41271      : 感謝哦，寫得很詳細，還特別修文改漏洞，我有看到你
→ G41271      : c改成δ. 因為週末比較忙, 所以現在才推文
→ G41271      : 我一開始直接展開，就變成要處理lnx/x^n的級數
→ G41271      : 雖然每項都趨於零,但有無窮項,無法證出加總等於零
→ G41271      : 均值定理避免了這問題, 感謝~
→ G41271      : 夾擠則是讓證明簡化了許多