這個問題
是我很久以前就想問的
但因為似乎做物理的沒什麼人關心
所以我想這邊問問看

在數學中，對於向量的定義為
向量對加法有交換律，分配律
存在加法單位元素，存在加法反元素
並對於一個field，此field對向量乘法存在分配律
而向量對此field中兩元素的乘，滿足交換律
而向量之和，對此field存在分配律
且此field的單位元素對向量作用後仍為原向量


以上為八個定義

但物理中，只說若向量滿足座標轉換，即為向量


現在問題來了
以上兩種定義是否為等價？

若不是（直覺看起來可能真的不是）
若不是（直覺看起來可能真的不是）
物理中的定義存在什麼樣的缺陷？

有高手能稍微引導我一下嗎？

感激
※ 編輯: keyesleo (101.12.16.191 臺灣), 08/04/2019 00:14:41
推 wohtp       : 這兩個向量意思不一樣，所以定義也不一樣
推 wohtp       : 物理定義的向量其實是這個：給定一個叫做「空間」的
→ wohtp       : manifold，它的tangent  space的元素就是向量。
→ wohtp       : 反之，就算你弄出另一個數學上的向量空間，其元素也
→ wohtp       : 不是物理講的向量。
→ wohtp       : tangent space一定是數學定義的向量空間，所以這裡
→ wohtp       : 沒有漏洞。
謝謝
但我不會manifold，所以其實不大知道意思
但還是感謝您

※ 編輯: keyesleo (101.12.16.191 臺灣), 08/04/2019 01:13:08
推 wohtp       : 那我這麼解釋好了：那個物理定義要求的是向量的方向
→ wohtp       : 必須代表真正空間中的方向。
→ wohtp       : 所以你不能隨便抓三個物理量擺一起就說那是三維向量
→ wohtp       : 。
→ wohtp       : 例如說一團氣體的溫度、密度、壓力，三個擺一起over
→ wohtp       : 實數是向量空間沒問題，但是跟空間的方向完全無關
推 Vulpix      : 唯一的缺陷是名詞(就是「向量」二字)的 overload。
推 isaswa      : 向量空間是一個名詞
→ ScottOAO    : https://imgur.com/ay7fQFt
推 wohtp       : 如果overloading沒有疑義也就算了。最慘的就是有時
→ wohtp       : 候 quantum state vector 有一個 SU(N) tensor inde
→ wohtp       : x 和一個 real space tensor index，然後作者執意把
→ wohtp       : 這些都叫做 vector rep...
推 Vulpix      : 加一個tangent會好很多。
→ recorriendo : "滿足座標變換"其實有歧異 因為物理學家還分
→ recorriendo : contravariant 和 covariant
推 wohtp       : 所以我強調是tangent space。