[線代] 高維向量夾角

[Panthalassa (真。盤古大洋)]

數學版的大家好，有一題線性代數想請教

考慮k 個N維隨機的向量 u1, u2, ... uk
滿足兩兩正交，且長度為 1

今有一個 N*N 矩陣 A (可能給定也可能隨機)
則問：
(1) 若Au1 和 Au2 的夾角為 θ 2，則E[cos^2(θ 2)]=?
註：也就是 (u1’A’Au2)^2/(u1’A’Au1)(u2’A’Au2) 的期望值

(2) 推廣：若 Auk 與 span{Au1, ..., Au(k-1)} 之間的夾角為 θ k，則E[cos^2(θ k)]=
註：設 U=[Au1 ... Au(k-1)]
定義 P=U(U’U)^(-1)U’
則所求就是 (uk’A’PAuk)^2/(uk’A’Auk)^2 的期望值


我想知道的是，(1) 和 (2) 的結果和 A 的什麼性質有關，是 singular values 嗎，或是 determinant 呢，還是其他的？

什麼關鍵字比較好找到類似的題目呢？


目前知道的兩個較 trivial 的情況：

(i) A 是正交矩陣
那兩個結果都會是 0

(ii) A 的各 entries是 zero-mean i.i.d. Gaussian distributed r.v.
那(2)的答案似乎是 (k-1)/N


特別讓我在意的是這兩種 A：

(iii) A 是由兩個矩陣相加組成，一個是 identity matrix I，
另一個則是各 entries是 zero-mean i.i.d. Gaussian distributed r.v. 的矩陣(給定 va
riance 為 σ^2)
(iv) A 是任意一個 Toeplitz 矩陣或circulant matrix

謝謝大家
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※ 編輯: Panthalassa (111.71.127.185 臺灣), 11/11/2019 12:43:37
※ 編輯: Panthalassa (111.71.127.185 臺灣), 11/11/2019 12:45:39
→ wohtp       : 有沒有Ker(A) = {0}？
→ wohtp       : 沒有的話期望值定義可能有零在分母
→ wohtp       : 其實你的問題裡面只有 (A^T A)
→ wohtp       : diagonalizable by orthonormal transformation
→ wohtp       : eigenvalue 是 A 的 singular value 平方
→ wohtp       : 反正先diagonalize，一切都應該好做很多
→ Panthalassa : 謝謝提醒 :) 不過有一部分是 A^T PA 比較難做對角化
→ Panthalassa : P 我只知道 eigenvalues 為 0 or 1
→ Panthalassa : 這方面有沒有什麼領域在探討呢..隨機矩陣？
→ wohtp       : 哪來的P？你下一步要推廣到中間夾projection嗎？
→ wohtp       : 喔你的(2)
→ wohtp       : 我現在頭腦不是很清楚，但是我覺得你做完SVD以後，
→ wohtp       : 那個P在中間應該也是對角的
→ wohtp       : 所以整個 A^t P A 也可以弄成對角
→ wohtp       : 啊一想就知道果然錯了 XD 睡覺去zzz...
→ Panthalassa : 沒關係 謝謝XD
→ wohtp       : P 可以寫成 \sum (A uk)(uk' A')
→ wohtp       : 把這個形式插進你的(2)，你還是可以先對角化A'A再說
→ wohtp       : 喔我忘了normalize，你看著辦吧
→ aikotoba    : 標題看成高雄...
→ Panthalassa : 謝謝 w大～
→ Panthalassa : a大 真的有點像哈哈