Re: [其他] TC題 (1) 多項式/微積分 (Sol)

[TimcApple (肥鵝)]

※ 引述《TimcApple (肥鵝)》之銘言：
: Problem 1
: Γ1 為三次實係數多項式 y = f(x)
: 有三根 -1, 0, 1, 首項係數為正
: Γ2 是 Γ1 以原點為軸心 逆時針旋轉 90 度的圖形
: 已知 Γ1 和 Γ2 相切於 4 點
: 求兩圖形圍成的面積（紅色區域）
: https://i.imgur.com/EIXV42t.jpg



Solution to Problem 1


顯然 f(x) = a(x-1)x(x+1), a > 0

a 改變時，Γ1 整個圖形上下延伸，Γ2 左右延伸

很明顯會有一個，且唯一一個 a 讓兩圖形相切


本題大致上分成兩個步驟

(1) 找出 a

(2) 積分算出面積



(Step 1)

<Sol 1> 真高中解法：見原題底下 LPH66 的詳解圖

設第一象限的切點坐標 (u, v), u > v > 0
則顯然四切點為 (u, v), (-v, u), (-u, -v), (v, -u)

由於切點在圖形上，可得
 v = a (u^3 - u)    ...(1)
-u = a (v^3 - v)    ...(2)

由兩切點的切線互相垂直可得
a (3u^2 - 1) a (3v^2 - 1) = -1   ...(3)

由 (1)/(2) 整理可得
u^4 + v^4 = u^2 + v^2   ...(4)

由 (1)*(2) 可得
a (u^2 - 1) a (v^2 - 1) = -1   ...(5)

比較 (3), (5) 並化簡可得
u^2 + v^2 = 4 u^2 v^2   ...(6)

合併 (4), (5) 即可解出
u^2 = (3 + √3)/4, u = (1/2) √(3 + √3)
v^2 = (3 - √3)/4, v = (1/2) √(3 - √3)

代回 (5) 可求出
a = 2√2



<Sol 2> 近高中解法：見 LimSinE 的回文

(u, v) 定義同 Sol 1

由 y = a(x^3-x) 和 -x = a(y^3-y) 互相代入可得 9 次式

-x = a (a^3 (x^3 - x)^3 - a(x^3 - x))
 0 = a^4 x^9 - 3 a^4 x^7 + 3 a^4 x^5 - (a^4+a^2) x^3 + (a^2+1)x

由於切點代表有重根，其 9 根應為 u, u, -u, -u, v, v, -v, -v, 0
將該式除以 x (把 0 這根拿掉)，並設 X = x^2 可得

 0 = a^4 X^4 - 3a^4 X^3 + 3a^4 X^2 - (a^4+a^2) X + (a^2+1)

應有 4 根為 u^2, u^2, v^2, v^2, 所以事實上可以寫成平方式

 0 = (a^2 X^2 + b X + c)^2

展開後比對係數可得到 a^2 = 8, a = 2√2



<Sol 3> 個人第一次解題使用的解法

設 R(x) 為上面的 9 次式，微分得 R'(x) 為 8 次式

然後對 R(x), R'(x) 輾轉相除法，直到 3 次式以下歸 0，比對係數得到 a = 2√2

這個方法難算到爆，乖孩子不要學(欸

算是個人的壞習慣吧，當初畫出圖形的時候，只猜想理論上有解

不知道有沒有好解法，會下意識使用最暴力的方法剛過去



<Sol 4> 使用 Wolframalpha

將 R(x) = 0 丟進去 Wolframalpha 給它解

它會算出一個很醜的大根號，裡面有一堆 a^2 - 8

基於切點應該是特殊情況，猜 a^2 = 8 是人之常情

想要驗證的話，拿 Desmos 或 Geogebra 畫一下就解決了



(Step 2)

這邊就不詳述了，方法有很多種

我自己使用的方法如下：

https://i.imgur.com/PMWqbJk.png


1/4 面積 = 綠 + 紅 = (-藍 + 綠) + (紅 + 黑)

= int_(-u)^(-v) a (x^3 - x) dx + uv

= 2√2 (v^4/4 - u^4/4 - v^2/2 + u^2/2) + uv = 3√6 / 8


因此 面積 = 3√6 / 2



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Bonus Problem:

可以看出原題我是用 Desmos 作圖

雖然 Geogebra 功能比較強，但我的電腦爛手機爛易 lag，所以偏好用 Desmos

Desmos 畫面積的功能有限，要畫出我那張圖並不容易


第一個用 Desmos 複製出我那張圖的有 50 P 獎勵

第一個猜中我大致上用什麼方法畫的也有 50 P 獎勵




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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 101.12.71.213 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1589463507.A.3A8.html
推 chemmachine : <1>我不會desmo<2>我只會mathematica所以就猜mathe
→ chemmachine : matica吧~~
推 chemmachine : 第二題應該是問用desmo的甚麼方法
嗯 所以沒用的不好意思ow o

不過我可以說明一下，Desmos 畫面積的方法其實只有一種：
f(x) < y < g(x) { a < x < b }
以及 x, y 互換，或是 < 改成 <= 之類的
而 Desmos 最糟糕的地方是，它會畫 f(x), g(x) 的線
所以如果亂切的話，會冒出一堆莫名其妙的線

你說為啥我不去用 geogebra 就好
因為我覺得用 desmos 畫是一種挑戰XD
推 qazqwe      :  https://i.imgur.com/oVfdESW.jpg 不會用積分功能
→ qazqwe      :  慟 這樣算ㄇ 我弄好久給我p幣霸脫
→ TimcApple   : 看你認真的份上 意思給個 20P 好了XD
推 tccw0941    : https://i.imgur.com/DYjmQ3y.png
→ tccw0941    : 這樣行嗎 還是要把答案直接給大家看XD
推 tccw0941    : 喔對 我沒用積分功能
RRR 搞錯圖了 是原文那張（或本頁第一張）
積分功能某方面來說和取範圍沒兩樣
總之既然有圖就 20P 吧qw q
推 znmkhxrw    : https://www.desmos.com/calculator/nrcwnhtkep
→ znmkhxrw    : 用desmos一段時間了還是靠杯難畫XDDD
→ znmkhxrw    : 要特別不要畫出boundary以及要填滿整個區域...
靠 幸好我有問這個問題 括號居然可以有兩個=A= 總之 50P
要不要看我怎麼畫的 我還是自己把另一個 50P 吃了吧qw q
https://www.desmos.com/calculator/ktaxtip2bd
推 znmkhxrw    : ...你還真的算出每一段反函數 我以為你是要引誘我們
→ znmkhxrw    : 去算 所以我死不算XDDD
你知道當我好不容易寫出一個反函數
結果發現它只代表其中一段（理所當然）的時候有多絕望嗎
推 znmkhxrw    : 然後你去除邊界的方式 原來可以用順序來疊過去
→ znmkhxrw    : 我還去找如何去除邊界XDDD
推 tccw0941    : 昨天睡覺的時候想到一招滿特別的方法 剛剛試了一下
→ tccw0941    : https://www.desmos.com/calculator/cghkrwo9cx
→ tccw0941    : 裡面還有附上很多各種奇怪形狀面積的方法XD
感謝 另一個 50P 就給你吧 等最近有空開電腦的時候
推 tccw0941    : 不用了啦 我覺得想到這個方法能一次取很多不等式的
→ tccw0941    : 交集 而且有沒有邊界 就值得我那幾個小時了XD
→ tccw0941    : 有*又
以上三位已發
※ 編輯: TimcApple (49.216.48.74 臺灣), 05/17/2020 23:28:55