Re: [分析] 一題power series收斂

[yhliu (老怪物)]

※ 引述《kevinyin9 (kevinyin)》之銘言：
: 大家好
: 請問這題是用夾擠定理嗎 或是有別的解法嗎
: https://i.imgur.com/VPQwlZt.jpg
: 謝謝各位

(操作錯誤, 又不能刪文, 只好刪內容.)
※ 編輯: yhliu (118.170.86.129 臺灣), 05/29/2021 16:19:01
→ musicbox810 : 板規讓y大很尷尬XD

似乎解決了...


r = 1 時,
Σ{n=0～∞} r^(-n) Σ{k=0～n} r^k/[(k+1)(k+2)(k+3)]
  = Σ{n=0～∞} Σ{k=0～n} {1/[(k+1)(k+2)] - 1/[(k+2)(k+3)]}
  = Σ{n=0～∞} {1/(1．2) - 1/[(n+2)(n+3)]}
發散.

r ≠ 1 時,
Σ{n=0～N} r^(-n) Σ{k=0～n} r^k/[(k+1)(k+2)(k+3)]
= Σ{k=0～N} {r^k/[(k+1)(k+2)(k+3)]} Σ{n=k～N} r^(-n)
= Σ{k=0～N} {r^k/[(k+1)(k+2)(k+3)]} [1/r^(k)-1/r^(N+1)]/(1-1/r)
= Σ{k=0～N} {1/[(k+1)(k+2)(k+3)]} [1-1/r^(N-k+1)]/(1-1/r)
= Σ{k=0～N} {1/[(k+1)(k+2)(k+3)]}/(1-1/r)
    - Σ{k=0～N} {1/[(k+1)(k+2)(k+3)]} [1/r^(N-k+1)]/(1-1/r)
第一部分當 N→∞ 時收斂.
第二部分當 N→∞ 時,
   0< r < 1 則
      Σ{k=0～N} {1/[(k+1)(k+2)(k+3)]} [1/r^(N-k+1)]
        > Σ{k=0～N} {1/[(k+1)(k+2)(k+3)]}/(N+1) ．Σ{k=0～N} r^k/r^(N+1)
      發散;
   r > 1 則
      Σ{k=0～N} {1/[(k+1)(k+2)(k+3)]} [1/r^(N-k+1)]
        < (1/6) Σ{k=0～N} r^k/r^(N+1) = (1/6)[1/r^(N+1)-1]/(1-r)
      收斂;


故, 原級數收斂範圍為 r > 1.

又, r > 1 時得
Σ{n=0～∞} r^(-n) Σ{k=0～n} r^k/[(k+1)(k+2)(k+3)]
= Σ{k=0～∞} {r^k/[(k+1)(k+2)(k+3)]} Σ{n=k～∞} r^(-n)
= Σ{k=0～∞} [r/(r-1)]/[(k+1)(k+2)(k+3)]}
= r/[4(r-1)]
※ 編輯: yhliu (118.170.86.129 臺灣), 05/29/2021 18:42:55