[微積] 限制條件下求極值的應用題目

[axis0801 (獵人哲學)]

試題如圖:https://reurl.cc/eE7Nnb

然後下圖是我用乘數法求解的過程
https://reurl.cc/qg4lOq

我想請教的是
因為我求解出來只有一組解
而題目問的是面積總和的最小值
那我最後要如何確定這一組解為最小值的解呢？
求指點，感謝！

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  沉靜如海，靜水流深 

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※ 編輯: axis0801 (219.68.81.95 臺灣), 07/21/2021 16:18:09
→ mantour     : 限制條件除了4x+2piy+3z=L之外, 還有x>=0,y>=0,z>=0
→ mantour     : 求極值的範圍是x=0,y=0,z=0和4x+2piy+3z=L的三條
→ mantour     : 交線形成的三角形
→ mantour     : 目標函數連續, 限制的範圍為封閉有界,故必有最大和
→ mantour     : 最小值. 最大最小值的位置除了三角形內部的critical
→ mantour     : point之外, 也有可能在三邊或三個頂點上
→ mantour     : 比較三邊上的critical point, 三角形內部的critical
→ mantour     : point, 和三個頂點的值, 最大的就是最大值, 最小的
→ mantour     : 就是最小值
→ axis0801    : 謝謝提醒我所忽略的限制條件,依照您的敘述,我有試著
→ axis0801    : 將限制條件把f(x,y,z)化成f(x,y)然後用一階導數找出
→ axis0801    : 臨界點,但是判別式出來的分式太過複雜不好算就放棄
→ axis0801    : 然後還是回到Lagrange的方法,依照您所提示的限制條
→ axis0801    : 件帶出了x,y,z個別的不等式,計算過程如圖:
→ axis0801    : https://reurl.cc/j8YXdp
→ axis0801    : 請問這樣的判斷是可靠的嗎?感謝!
→ mantour     : 看不是很懂你的"端點"是怎麼找的, 但是你找的那一點
→ mantour     : 好像不在平面4x+2piy+3z=L上耶
→ mantour     : https://ibb.co/h8LtvT3 請參考
→ mantour     : 其實可以想成, 分成三段邊長都不為零時的極值
→ mantour     : 只分兩段作成方形和圓形, 只分兩段作成方形三角形
→ mantour     : 只分兩段作成圓形和三角形, 全部做圓形, 全部做方形
→ mantour     : 全部做三角形, 7種情況的極值
→ mantour     : 最大值是全部做成圓形, 最小值是你本來求得的這一點
→ axis0801    : 謝謝你的圖解及詳解！這次終於懂了,所以三段都不為0
→ axis0801    : 剛好就是那個限制平面,然後只分2段的個別就是x=0
→ axis0801    : y=0和z=0的三個平面的邊界條件,討論這四個平面就可
→ axis0801    : 以得到各個極值了,原來如此!謝謝您!:)