[幾何] 直角三角形的性質

[pmove (伊之助 = 一隻豬 =幾家滴)]

直角三角形，一定有一個角度是無理數的度數，要不然一定有一個邊長是無理數。是不是這樣？試證或反證，如果證明不難的話，也方便提供，謝謝。
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→ Ricestone   : 三角形中有理角只有0度跟45度跟90度有有理正弦值
→ Ricestone   : 另外也只有0度跟90度有有理正切值
→ Ricestone   : *是0度30度跟90度
→ Ricestone   : 有有理正弦，   正切是0度跟45度
→ Ricestone   : 因為是有理角θ，所以存在m,n使得mθ=nπ
→ pmove       : 我指的是不是正弦值，而是三個邊長其一或者三個角度
→ pmove       : 其一（2度是有理度數，但是根號2度就不是有理度數）
→ pmove       : ，例如邊長是3, 4, 5的三角形，三邊長有理，但是角
→ pmove       : 度並非90, 53, 37而是90, 53.1…, 36.8…據說也是無
→ pmove       : 理角度
→ Ricestone   : 然後用棣美弗跟有理根判別法找怎樣會有有理根
→ Ricestone   : 正弦值就是邊長比
→ Ricestone   : 邊長比如果有無理數，函數值就會是無理數
推 zhanguihan  : it is hard to prove if the angle is expressed as
→ zhanguihan  : degree. However, once the angle is expressed as
→ Ricestone   : 所以只有正切跟正弦值都同時為有理數的角度才符合
→ zhanguihan  : radian, it can be provable.
→ Ricestone   : 不用弧度
→ Ricestone   : 我記得有在數學傳播看過
→ Ricestone   : https://bit.ly/3jBmjLe
→ pmove       : 0度因爲直角三角形劃不出來，先不算，但是45度的90,
→ pmove       :  45, 45度數的三角形，正弦值是（根號2）/2，正弦值
→ pmove       : 是無理數啊，所以不是反例
→ Ricestone   : 我下面有訂正是30度啊
→ Ricestone   : 問題是正切只有45度是有理，所以除了0度之外沒有
→ Ricestone   : 兩個值同時是有理數的度數   i.e.沒有這種三角形
推 zhanguihan  : I got it. Originally, my approach is using the f
→ zhanguihan  : act that tan(x) is irrational when x is rational
→ zhanguihan  :  to arrive the contradiction. That is why I insi
→ zhanguihan  : st on the radian expression.
→ Ricestone   : 其實我印象中就是有這樣一個題目，先出弧度再出角度
→ Ricestone   : 弧度比較簡單，角度就要靠這個有理根判定法
→ Ricestone   : 不過我忘了是什麼競賽題還是哪個資優班之類的題目了
→ pmove       : 如果我沒誤解Rice大的意思，這個題目的猜想應該是成
→ pmove       : 立的（0度角除外）
→ Ricestone   : 就不存在兩組數值全都有理數的直角三角形
→ pmove       : 我題目沒有寫好，應該不要用邊長，而要說排除0度和9
→ pmove       : 0度的正弦跟正切值其中有一個是無理數，要不然三個
→ pmove       : 角，其中有一個是無理角度
→ Ricestone   : 那沒差，就同樣意思而已
推 Vulpix      : 整數度數好做，也才45個，有理數度數比較搞剛吧。
→ Vulpix      : 不過這個作法應該可以快一點：直角三角形三邊長如果
→ Vulpix      : 都是正整數，那比例一定是 (1-p^2):2p:(1+p^2)。其
→ Vulpix      : 中一角(不妨稱為2α)的正切值tan2α=2p/(1-p^2)，
→ Vulpix      : 所以tanα=p。剛剛忘了說p是正有理數。所以這個問題
→ Vulpix      : 等同於問 y=tan(x°) 上的有理點。
→ Vulpix      : 其中 x°是銳角的半角，所以 0<x<45。