Re: [問題]要如何將行列式使用拉普拉斯展開?

[chungyuandye (養花種魚數月亮賞星星)]

※ 引述《chungyuandye (養花種魚數月亮賞星星)》之銘言：
: 標題: Re: [問題]要如何將行列式使用拉普拉斯展開?
: 時間: Wed Dec 12 00:22:53 2012
:
: ※ 引述《candy88257 (阿泰斯)》之銘言：
: : 在此說的拉普拉斯是指: http://tinyurl.com/bhhlt4q
: : 上面網址是維基百科
: : 有辦法做到這點嗎?
: : 想把10幾階的矩陣使用拉普拉斯展開，不想用Det算
: : 因為用Det怪怪的，行列式值會有分母....，明明所有數值都沒分數的說...
: : 求高手幫忙!! 感謝!!!
:
: temp=12;
: A:=N@Table[Sin[m+2n]+Cos[m+2n]z,{m,1,temp},{n,1,temp}];
:
: myminors[mymatrix_?MatrixQ,i_,j_]:=Block[{dim},
: dim=Length@mymatrix;
: mymatrix[[All,Drop[Range[dim],{j}]]][[Drop[Range[dim],{i}]]]]
:
: mydet[mymatrix_?MatrixQ]:=
: Total[Table[Det@myminors[mymatrix,1,i]*mymatrix[[1,i]]*If[OddQ[i],1,-1],
: {i,Length@A}]]
:
: {temp=#;Det[A/.z->1]-mydet[A/.z->1]}&/@Range[2,12]
:
: mydet[A]//Simplify
:
: 推 AmibaGelos:您好，這樣做的話似乎只能用在12的情況?更高階便必須做  12/13 09:18
: → AmibaGelos:更多的展開@@...共會有n!/11!項ORZ                     12/13 09:20
: → chungyuandye:是的，更高階的話要將每個minor繼續分解              12/13 10:37

(* Laplace expansion *)
temp1=15;
A=N@Table[Tan[m+2n]+Cot[m+2n]z,{m,1,temp1},{n,1,temp1}];

myminors[mymatrix_?MatrixQ]:=Block[{dim},
dim=Length@mymatrix;
{If[OddQ[#],1,-1]*mymatrix[[1,#]],
mymatrix[[All,Drop[Range[dim],{#}]]][[2;;-1]]}&/@
Range[dim]
];

dist[list1_,list2_List]:=Insert[#,list1,1]&/@list2

(* 降階到11x11的minor後代Mathematica的Det *)

anstemp1=
Nest[Flatten[ParallelMap[dist[#[[1;;-2]],myminors[#[[-1]]]]&,#],1]&,
myminors[A],temp1-12];

ans=Total[ParallelTable[
Times@@Flatten[anstemp1[[i]][[1;;-2]]]*
Det[anstemp1[[i]][[-1]]],{i,Length@anstemp1}]

Det[A/.z->1]-ans/.z->1

上面的程式在anstemp1所產生的項數共15*14*13*12=32760，所以顯然是很沒效率。
但如果就上述的矩陣改以下列方式計算，那速度快很多。

temp=15;
AA=Table[Tan[m+2n]//N,{m,1,temp},{n,1,temp}];
BB=Table[Cot[m+2n]//N,{m,1,temp},{n,1,temp}];
A=Table[Tan[m+2n]+Cot[m+2n]z//N,{m,1,temp},{n,1,temp}];

ans1=AbsoluteTiming[Det[AA]*Det[(IdentityMatrix[temp]+z*Inverse[AA].BB)]]
ans2=AbsoluteTiming@Det[AA+z*BB]
ans3=AbsoluteTiming@Det[A]

{ans1[[2]]/.z->#,ans2[[2]]/.z->#,ans3[[2]]/.z->#}&/@Range[0.1,1,0.1]

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◆ From: 218.173.140.113
→ candy88257:感謝!!!
推 candy88257:大大，雖然您新寫的語法比較快，但是...
→ candy88257:你新寫的語法只能用在您設定的矩陣吧@@
→ candy88257:而我現在既定的矩陣沒辦法像您那個矩陣一樣那麼有規律.
→ candy88257:也就是Z沒辦法像那樣直接分開...
→ candy88257:請問有解決方法嗎@@?
推 candy88257:補充: 雖然矩陣很複雜，但是都可寫成a+bZ的形式
→ candy88257:是22*22的矩陣
→ candy88257:會有Z^2
→ candy88257:求神手幫忙想一下  感謝!
推 candy88257:請問大大ans1的原理為何@@?
推 candy88257:我會了@@ 其實是很簡單的轉換... 沒稍微動一下頭腦不
→ candy88257:行了