[問題] mathematica的認知bug?

[alfadick (悟道修行者)]

我想透過Exists和Reduce函數，得到f(x)=x^2的對應域

數學上對應域即為range f = {y | 存在x, y=f(x)}，

其中命題函數是P(y):="存在x, y=f(x)"

既然有命題函數，我當然想透過Reduce(or FullSimplify)求解，

就好比 命題函數 "3x^2+2x-1 <0"可以透過Reduce求解一樣


f[x_] := x^2
Reduce[Exists[x, y == f[x]], y]

結果我發現它直接給出true耶？照理說

Exists[x, y == f[x]] 若要問它真假值，是給不出來的(因為y未知)

超怪= =

當然我猜Reduce[Exists[x, y == f[x]], y]的True意思不是邏輯的true，

而是實數集合R。可是f(x)=x^2的對應域一定≧0呀!

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◆ From: 114.44.195.220
※ 編輯: alfadick        來自: 114.44.195.220       (02/23 23:04)
→ alfadick:難道跟複數有關? 可是我記得之前的經驗，感覺都實數,冏
→ alfadick:(感覺Reduce預設要解的都是實數)
另外想請問一下在MATHEMATICA中，-2<x<6這個表達式算集合嗎？

怎樣的表達式算集合？

譬如我想測試 Sqrt[2]是否屬於(-2,6)這個區間，該怎麼做呢？

因為如果是有限元素的集合，我有查到是用List為結構，那很簡單，

可是無線元素-2<x<6的集合呢？　就算下 Reduce[-2<x<6,x]，得到的還是-2<x<6　冏..
※ 編輯: alfadick        來自: 114.44.195.220       (02/23 23:31)
推 LPH66:好像真的是複數...改成Exists[x,Element[x,Reals],y==f[x]]
→ LPH66:就給出 Re[y]>=0&&Im[y]==0 的結果
→ LPH66:你的另外問題似乎可以查一下 Interval 這個東西
謝謝～～

追問一下：要找一個函數的對應域，或者它在某個定義域區間的image，

在Mathematica正規做法該怎麼做啊？

我用邏輯的想法是得到正確答案了

Reduce[Exists[x, -1 < x < 4,
  y == x^3 + 2*x + 1], y, Reals]  (*找出f在 (-1,4) 的image*)


Out= -2 < y < 73

但不知道正規做法是什麼＠＠
※ 編輯: alfadick        來自: 114.44.195.220       (02/23 23:36)
→ LPH66:唔, Interval 含端點...
→ LPH66:不過如果是用 Interval 的話那能用 IntervalMemberQ 查詢
找到了

In[11]=    f[x_] := x^3 + 2*x + 1
           f[Interval[{-1, 4}]]　　-----------> 這裡有端點

Out[11]=   Interval[{-2, 73}]
※ 編輯: alfadick        來自: 114.44.195.220       (02/23 23:41)
→ alfadick:interval 好像挺直觀的http://ppt.cc/ZT6j
話說PREIMAGE也有點怪：

http://mathworld.wolfram.com/Preimage.html


Reduce[Exists[y, IntervalMemberQ[Interval[{-2, 73}], y],
  y == x^3 + 2*x + 1], x]

跑出False @@
※ 編輯: alfadick        來自: 114.44.195.220       (02/24 00:09)
→ alfadick:這真的是超有意思的coding logic
→ alfadick:也只有mathematica才能這樣大玩特玩量詞邏輯
推 LPH66:是說 Interval 這樣代不一定是正確的區間喔
→ LPH66:例如 f[x_]:=x+x^2 則 f[Interval[{-1,1}]] 會得到
→ LPH66:Interval[{-1,2}] 而不是正確的值域 Interval[{-1/2,2}]
我用Plot看（懶得手算ＸＤ）, 正確的image應該是-1/4~2
→ LPH66:因為這樣代入時兩個 Interval 物件是獨立考慮的
→ LPH66:(這個例子是 Interval 的說明裡的例子)
啊？你是說f作用在Interval的效果等同於f[List{-1,1}] @@?

那Mathematica設計Interval這個函數幹嘛＝　＝

l[x_] := x + x^2 ; l[Interval[{-1, 1}]]  結果是Interval[{-1,2}] ...

好像也不是端點取f得到的，-1不知道是哪裡冒出來的
※ 編輯: alfadick        來自: 114.44.195.220       (02/24 08:49)


Reduce[Exists[y, -2 < y < 73,  y == x^3 + 2*x + 1], x, Reals]

這樣成功了。-2<y<73改用 IntervalMemberQ[Interval[{-2,73}],y]不行@@
※ 編輯: alfadick        來自: 114.44.195.220       (02/24 09:13)

有些很簡單的函數，明明Plot都可以描點了，

但用真值集合(reduce with ForAll, Exists, etc)來算image，就不行


Reduce[Exists[x, -1 < x < 4, y == Sin[x^2] + x^2], y, Reals]

(*求f(x)在(-1,4)的image*)

Reduce::nsmet: This system cannot be solved with the methods available to
Reduce.


http://reference.wolfram.com/mathematica/tutorial/RealPolynomialSystems.html
※ 編輯: alfadick        來自: 114.44.195.220       (02/24 14:08)