[功課] Irreducible polynomial in finite field

[jacky7987 (憶)]

3.8最後一題習題的最後一小提

Prove, for all n≧1 and finite field k,

there is an irreducible polynomial in k[x]

Proof:

Let F_p be the prime of k, and so that |k|=p^r, for some r>0.

Let F_p^{nr} be the field having p^{nr} elements.

By thm, for all z in F_p^{nr},z is a root fo f(x)=x^(p^{nr})-x

and since p^r-1 | p^{nr}-1, so k is a subfield of F_p^{nr}

and [F_p^{nr},k][k,F_p]=[F_p^{nr},F_p]

[F_p^{nr},k]*r=nr

[F_p^{nr},k]=n

Therefore, there exists a irreducible polynomial g(x) of degree n

in k[x] such that F_p^{nr} has a root of g(x)

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◆ From: 123.193.85.88
※ 編輯: jacky7987       來自: 123.193.85.88        (05/29 01:39)
※ 編輯: jacky7987       來自: 123.193.85.88        (05/29 01:40)
推 stymyle:推
推 qazxcdews:扯
推 OoYAYoO:為什麼[F_p^{nr},k]=n可以推得存在deg n的 irr poly
※ 編輯: jacky7987       來自: 123.193.89.201       (05/29 22:46)
→ jacky7987:因為F_p^{nr} isom F_p^r/(g(x))  for some g(x)
→ jacky7987:我是這樣認為拉
→ jacky7987:比較不嚴謹的:每個有限體都有primitive elment
→ jacky7987:我叫他x,那麼{1,x,...x^n} 是個線性相依集合
→ jacky7987:存在不全為0的a_i 使得 a_0+a_1x+...+a_nx^n=0
→ jacky7987:那x就是g(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0 的跟
→ jacky7987:不嚴謹的點是我並不知道g(x)是否是irreducible的
推 OoYAYoO:這樣 g(x)deg 不是n+1嗎? 如果是這樣寫得話 我是猜想會有
→ OoYAYoO:特殊根z在F_p^{nr} 其order 為n 這樣(1 z z2 z3 ..)
→ OoYAYoO:就是F_p^{nr}的一組基底 在根據3.116 就可以推得g(x)一定
→ OoYAYoO:為Irr poly
→ jacky7987:不過透過有限體的造法應該可以直接確定那個多項是存在?
→ jacky7987:因為沒有的話代表沒有這種大小的體?
推 OoYAYoO:是n沒錯= = 可是考慮體的造法 我是做不出來那個多項一定會
→ OoYAYoO:結果