[轉錄]Re: [問題] 還是想不通...

[Pendry (John Pendry)]

※ [本文轉錄自 Physics 看板 #18lGiNA9 ]

作者: zweisteine (聖人見微以知萌) 看板: Physics
標題: Re: [問題] 還是想不通...
時間: Tue Sep  2 17:44:53 2008

※ 引述《Qubit (逼巴你個隆地咚啊)》之銘言：
: 請問四維空間座標裡
: 第四個基底是時間？
: 還是無法想通耶
: 為什麼第一二三個基底
: 都是空間(x,y,z)
: 為什麼第四維就是時間
: 而且用三維的眼光來看二維
: 其實也可以幾乎同時在一個地方
: 但卻不需要用到時間來描述
: 為什麼四維就需要了呢
先花一分鐘想一下這個問題：
為什麼相對論提出來之前沒有人講過時空這個東西？
為什麼牛頓力學一樣有時間的概念，
卻沒有人說它是四維時空？





座標系是人定的，
所以物理定律不會受到x軸往哪個方向而改變。
當我們把某個物理量用某座標系的數值來表示的時候，
這個物理量會在座標系上有某種對稱性。
所以我們利用向量來描述這些物理量，
利用線性空間的對稱性來滿足物理上的對稱性。

牛頓力學的架構，就是這些物理量有三維空間的旋轉對稱：
以位移來說，
座標系轉一個角度，分量雖然會改變，
但是大小不會改變。
也就是存在一個不變量ds^2=dx^2+dy^2+dz^2，
這時我們會說位移向量在三維空間旋轉下協變(covariant)。
另外速度、加速度、力這些物理量也全部都是用同樣的方式變換，
而且也都有類似的不變量(就是速率、加速度的大小、力的大小)。
以數學上的說法來說就是牛頓力學的架構在SO(3)的變換下具有不變性。
所以時間是和空間無關的另一個物理量，就像溫度一樣。
當然可以定義一種五個分量的東西，像是(x,y,z,t,T)，
在數學上這東西當然是R^5裡面的向量，
但是就像前面所說，物理上使用向量就是因為這些物理量有某些特殊的對稱性，
SO(3)xO(1)xO(1)並沒有比SO(3)多出什麼有趣的東西，
所以除了表示上方便的特殊情形外，
不會用五維空間向量來表示這個物理量。


那麼到了狹義相對論發生了什麼事？
首先，伽利略變換不再適用，取而代之的是落倫茲變換。
座標系O'沿著座標系O的x軸相對運動的時候，
O'的x'座標和t'座標是O座標系x和t的某種線性組合，
先姑且把這種變換叫做x方向的boost，
除此之外當然還有沿著y方向和z方向的boost。
另外可能的座標變換就是牛頓力學中已經有的，
沿著某個軸的三維空間旋轉。
然後我們可以發現，我們可以連續做好幾個不同方向的boost，
甚至在中間穿插一堆旋轉，
然而-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2這個量卻永遠都是不變(注意時間那項前面的負號)，
情形就像在牛頓力學中，位移的大小不受座標旋轉有所改變一樣。

接著我們可以發現，把能量和動量湊在一起寫成一個四分量的東西(E/c,Px,Py,Pz)，
這東西居然和(ct,x,y,z)用一樣的方式變換，而且有一個類似的不變量：
-(mc^2)^2=-E^2+(cPx)^2+(cPy)^2+(cPz)^2
(boost到靜止座標系，就是E=mc^2這道有名的式子)

實際上，三個方向的boost和三個方向的旋轉形成一個群，也就是SO(3,1)，
(時間,位置)和(能量,動量)這兩個東西在SO(3,1)的變換下存在不變量，
我們可以把這兩個量定義成一個特別的線性空間的向量，
在這定義下這個不變量就是這些向量自己和自己內積。
這個線性空間的自由度是4，就是所謂的四維時空。

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.166.51.11
※ 編輯: zweisteine      來自: 218.166.51.11        (09/02 17:45)
推 sukeda:大推
推 louis925:喔~~又學到了一些東西，不過群還不太懂。感謝~~
推 exponential7:push
推 eric19861025:哇~~推推推~~整理的真好^^~棒--高手
推 Qubit:喔喔  謝謝  有頭緒了
推 poorboat:真不愧是zweisteine啊
推 SamLucien:很棒!!推~~
推 comlcs:push
推 sputtering:z大有沒有考慮要出書啊,我覺得版上觀念像你講得這麼清
→ sputtering:楚得很少,希望你多多發言,造福後進
→ zweisteine:樓上過獎了，我不會的東西也還多得數不清
→ gmbear:我也受益很多 雖然離開那部份已經三年多 回頭看你的解釋
→ gmbear:讓我更了解了....觀念真棒..^^
推 Lysandria:太棒了! 比以前易富國講的還容易懂 大推
推 adaw:易富國XD
→ zweisteine:黑鬍子XD
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.116.155.57
→ Pendry:一個對四維時空的基本概念，講解蠻淺顯易懂的