[閒聊] 淺談早上提到的費氏數列

[heinzentnu (Squirrel)]

以下是早上的問題:

假定一對兔子在它們出生整整兩個月以後可以生一對小兔子，其後每隔一個月又可以再生
一對小兔子。假定現在在一個籠子裡有一對大兔子和它們剛生下來的一對小兔子，請問一
年以後籠子裏應該有幾對兔子？

讓我們慢慢地算一下。一月底，大兔子又生了一對小兔子，但是第二代的那對小兔子還沒
成熟，還不能生小兔子，所以總共有三對。 二月底，第一、二兩代的兩對兔子各生了一
對小兔子，連同一月底所有的三對，現在一共有五對了。三月底，在一月底已經有的三對
兔子各生一對小兔了，連同二月底所有的五對兔子,現在一共有八對了。

依此類推，每個月底所有的兔子對數應該等於前一個月底所有的兔子對數（也就是原有的
兔子對數）加上前兩個月底所有的兔子對數（這些兔子各生了一對小兔子）。

所以每個月底的兔子對數應該是3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、…
，每一項都是前兩項之和。現在假定十四代同堂，那麼一年後籠子裡應該有610對兔子了。


那究竟他到底是和黃金分割有什麼關係?

狹義的費氏數列其實是滿足初始條件 F1=1 ,F2=1 ,
                                 Fn=Fn-1 + Fn-2的一個數列
由遞迴關係式求出他的一般項

Fn會等於 1/√5 {(1+√5)/2)}^n-1/√5 {(1-√5)/2)}^n

由此我們可以得到我們想要的黃金比例φ=(1+√5)/2

由黃金矩形分割的推導也可以得到x^2-x-1=0這個方程式中,

φ=(1+√5)/2恰好是其中的一組解

於是很顯然的可以得到φ^2-φ-1=0這個漂亮的方程式

這個數也會非常的接近1.618.....

自然科學界當中令人驚奇的也有非常多黃金比例的存在

今天上課時老師也有提到過,所以在此也不再贅述

以上是有關黃金比例跟費氏數列的一些詳細說明

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◆ From: 140.122.218.110
推 jupiter0106:好詳細好厲害!!!  兔子害我想了好久XD
推 tai0819:其實我當下很想問  能否亂倫?!
→ heinzentnu:我猜...費波納契他應該沒想那麼多吧XD,西元13世紀就想
→ heinzentnu:到亂倫的問題也太...前衛(?!)了
推 snowfun:亂倫XD  老師評：這個問題很有創意，我們請兔子回答!?!
→ snowfun:那~萬一都是男生或是都女生呢?
→ heinzentnu:我只能說Fibonacci的思想實驗沒有考慮到性別的情況XD
推 DL:好精闢的詳解~~我當下覺得這兔子的生產率也太高了吧~~