[分享] 線代第一章重點

[building99 (熊貓王)]

線代讀一讀做了個重點整理

想到昨天子敬ㄉㄉ說

高中在混沒學好

又常翹課不學好

要考試了

就來發個文做學術交流和普渡眾生吧

有錯或遺漏的請指正

發的有點晚....

要指正要快!!


--------------------------


一.利用矩陣求聯立方程式:

   (1)一個m x n 的 linear System

      m表方程式個數

      n表未知數X的個數

      X1 + 3X2 + X3 = 5
     2X1 +  X2 + X3 = 8

     這是個 2x3的linear System


     (a) Over-determined Systems

             m > n

     (b) Under-determined Systems

             m < n

   (2)把聯立方程是直接置入矩陣中

      以上述的方程式為例:

          X1 + 3X2 + X3 ｜ 5
      [                 ｜    ]   (我不會用更大的括弧..)
         2X1 +  X2 + X3 ｜ 8


二.高斯消去法(Gaussian Elimination)

   (1)strict   triangular form:

      利用矩陣中的行列乘以某倍加至其他行

      把矩陣中的第k行的前k-1個未知數的係數都變為0

      而第k個係數不可為0

      整個矩陣就像個倒三角形

       例:

          3X1 + 2X2 + X3 = 1

                 X2 - X3 = 2

                     2X3 = 4

   (2)  row echelon   form 的三個條件

     (a)每一列不為0的開頭要為1

     (b)每一列帶頭的連續0要比上一列的多

     (c)全為0的那列以下不可再出現0以外的數字

        例:

           1 4 2             1 2 3
         [ 0 1 3 ]   (o)   [ 0 0 1 ]  (o)
           0 0 1             0 0 0

           2 4 6             0 0 1
         [ 0 3 5 ]   (x)   [ 0 1 1 ]  (x)
           0 0 0             1 0 0


三. 高斯喬登消去法(Gauss-Jordan reduction)

      reduced row echelon form 的條件:

    (a)必須為row echelon   form

    (b)每一列第一個不為0項是那行唯一不為0的數

       例:


          1 0 0 3           0 1 2 0
        [ 0 1 0 2 ]       [ 0 0 0 1 ]
          0 0 1 1           0 0 0 0


四.轉置矩陣性質

           T T
   (1) ( (A) ) = A

          T     T
   (2) (aA) = aA

           T    T   T
   (3) (A+B) = A + B

          T    T T
   (4) (AB) = B A


五.單位舉陣 The  identity  matrix

   單位舉陣(I):對角線全為1，其餘全為0

   例:

       1 0         1 0 0
     [     ]     [ 0 1 0 ]
       0 1         0 0 1


   性質: IA = A    AI = A


六.三角矩陣 Triangular  matrices

   (1)Upper  triangular  (U)

      為左下角三角為0的矩陣

      例:

            3 2 1
          [ 0 2 1 ]
            0 0 5

   (2)lower  triangular  (L)

      為右上角三角為0的矩陣

      例:

            1 0 0
          [ 6 2 0 ]
            1 4 3
七.對角矩陣diagonal  matrix

   對角線上不為0，其餘皆為0 (為 U & L 的合體)

   例:

        1 0            1 0 0
      [     ]        [ 0 2 0 ]
        0 5            0 0 3

八.反矩陣Matrix   Inversion

   定義: AB = I
         則 A B 互為反矩陣

   性質:

        (1)反矩陣是唯一的

           證明:假設 B C 皆為A的反矩陣

                B=BI=B(A C)=(B A)C=IC=C  得證

        (2)並非所有矩陣皆有反矩陣，

           singular表無反矩陣，nonsingular為有反矩陣

        (3)若矩陣為nonsingular，則
                -1   -1 -1
             (AB) = B  A

            證明:
                   -1 -1       -1  -1       -1      -1
                 (B  A  )AB = B  (A  A)B = B  IB = B  B = I

                     -1 -1        -1  -1      -1     -1
                 AB(B  A  ) = A(BB  )A   = AIA   = AA   = I   得證


九.三階矩陣運算

   (1)TYPE 1 (行列互換)

        0 1 0
      [ 1 0 0 ]  (把單位矩陣一二列互換)
        0 0 1


     放在前面為列運算

        0 1 0    1 2 3       4 5 6
      [ 1 0 0 ][ 4 5 6 ] = [ 1 2 3 ]
        0 0 1    7 8 9       7 8 9

     放在後面為行運算

        1 2 3    0 1 0       2 1 3
      [ 4 5 6 ][ 1 0 0 ] = [ 5 4 6 ]
        7 8 9    0 0 1       8 7 9

   (2)TYPE 2 (行列的值變N倍)

        1 0 0
      [ 0 1 0 ]   (把單位矩陣(3,3)的1變3)
        0 0 3


        1 0 0    1 2 3       1  2  3
      [ 0 1 0 ][ 4 5 6 ] = [ 4  5  6 ]
        0 0 3    7 8 9      21 24 27

        1 2 3    1 0 0       1  2  9
      [ 4 5 6 ][ 0 1 0 ] = [ 4  5 18 ]
        7 8 9    0 0 3       7  8 27


   (3)TYPE 3 (行列倍數相加)(重要!!)(這就是高斯消去法!!)

        1 0 3
      [ 0 1 0 ]   (在(1,3)放3)
        0 0 1


        1 0 3    a b c       a+3g  b+3h c+3i
      [ 0 1 0 ][ d e f ] = [  d     e    f   ]
        0 0 1    g h i        g     h    i


        a b c    1 0 3       a b c+3a
      [ d e f ][ 0 1 0 ] = [ d e f+3d ]
        g h i    0 0 1       g h i+3g


      記憶法:(如果是在(x,y)加上n，就是把y行或列的n倍加到x行或列)


十.求反矩陣

    利用 (E1E2E3....Ek)A=I
          -1
    得到 A   =E1E2E3...Ek



    再利用之前的 TYPE3 把A轉換成 Upper  triangular (U)


    得到(E1E2E3)A = U
        ^^^^^^^^=A的反矩陣
                  -1  -1  -1
    移項得到 A = E3  E2  E1  U

        -1  -1  -1
    而E3  E2  E1  剛好會等於A的lower  triangular  (L)

              -1  -1  -1
    得到 L =E3  E2  E1       A = LU






祝大家線代考高分

為下幾次的考是鋪點路!!

前面考高一點後面才可以隨便考(小聲)



--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 123.204.193.100
※ 編輯: building99      來自: 123.204.193.100      (10/20 10:19)
→ building99:我北極星的還沒去那靠唄的重複認證，沒辦法在那波文...
推 rasl20264:難得給你推
→ iceric:首推很像在為自己的行為做辯解...
→ kazamihank:恩
推 aaa1214k:推推推推推推推推推推推推推推推推推推
→ building99:難得給我推是哪招?
推 c56ab:有八卦??
→ building99:別八卦了!!
推 joe11630:阿阿阿  我要＿了
→ joe11630:　　　　　　推
推 skies123:直為行(column)橫為列(row) 不要搞錯囉!!
推 firshine:了解~~
推 aaa1214k:不得不再推一次
→ building99:猜題神準!!
→ ggssa2000:有熊貓快拜~