Fw: [試題] 100下 陳金次 高等微積分二 期末考

[hnxu (MACA)]

※ [本文轉錄自 NTU-Exam 看板 #1FvPOtcT ]

作者: r44 (嗄四四) 看板: NTU-Exam
標題: [試題] 100下 陳金次 高等微積分二 期末考
時間: Sat Jun 23 18:10:58 2012

課程名稱︰高等微積分二
課程性質︰系定必修
課程教師︰陳金次
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2012/6/23
考試時限（分鐘）：180
是否需發放獎勵金：Yes
（如未明確表示，則不予發放）

試題 :

1.方程組        x + y + uv = 0
                xyu + v = 0

問在下列各給定點附近，u,v是否可表為x,y的函數?

若可，其可微分性如何?

(a) (x,y,u,v) = (1,1,√2,-√2)  (b) (x,y,u,v) = (0,0,0,0)



2. 下列二敘述正確否? 請證明之或舉反例。

(a)

f屬於C^1(R),f'(x)≠0 for all x屬於R，則f的反函數g在R上大域存在(exists globally)

且g屬於C^1(R)

(b)
T屬於C^1(R^2),J_T(x)≠0 for all x=(x,)屬於R^2，則T的反函數S在R^2上

大域存在(exists globally)，且S屬於C^1(R^2)


3.
                          ∞
給定f屬於C^2[0,∞)，滿足 ∫ |f(x)| + |f''(x)| dx < ∞ 。
                          0
試證: lim f(x) = lim f'(x) = 0.
      x→∞      x→∞


4.
方程組          f(x,y,z) = 0
                g(x,y,z) = 0
f,g 屬於 C^2在(x_0,y_0,z_0)點附近，| f_y f_z | ≠0
                                   | g_y g_z |

試證:存在x_0的鄰域I_δ(x_0)以及y=y(x),z=z(x)在I_δ(x_0)上滿足f(x,y(x),z(x))=0,

g(x,y(x),z(x))=0,且y,z屬於C^1(I_δ(x_0))。

5.
K(x,y) 在 [0,1]×[0,1]上的連續函數, |K(x,y)|< 1 ,for all (x,y)

φ(x) 屬於 C[0,1] , 試証: 存在唯一 f 屬於 C[0,1] ,
                     1
滿足 f(x) = φ(x) + ∫ K(x,y)f(y) dy
                     0

6.試找一保積寫像T:A→B其中A={(x,y)|x^2+y^2<1}, B=(0,√π)╳(0,√π)

7.φ(x)是週期為1的連續函數，其在[0,1]上的行為如右圖，

(圖為一個二維的座標平面，畫出φ(x)在[0,1]的行為，
因為BBS無法畫所以我直接把函數寫出來。)

φ(x) = { 2x    if x 屬於[0,1/2]
        { 2-2x  if x 屬於(1/2,1]

令f_n(x)=φ(nx),n = 1,2,3,...問:

(a)f_n是否conv. weakly in L^2[0,1]？若是，收斂到何函數？
(b)f_n在[0,1]上是否均勻收斂
(c)f_n是否conv. strongly in L^2[0,1]？
(d)f_n在[0,1]上是否逐點收斂?
(e)f_n在[0,1]上是否有逐點收斂的子序列?


8.f(x,t) 屬於C^1。當t=t_0時，f(x,t_0)在x_0點取local max。

問:當t微小變動時，f是否恆在x_0附近取local max?

若答案為否定，請舉例說明之。

你能對f給予適當地條件，以確保存在δ>0，使f(x,t)在x_0附近x(t)點取local max?

(且x(t)在(t_0-δ,t_0+δ)上連續)若要求x(t)屬於C^1(t_0-δ,t_0+δ)，條件又如何?



9.
(a)
       ∞
求    ∫ sin(x)/x dx 之值。(不限方法，所依據之定理需交待清楚。)
       0

(b)於上題中，令x = 2t 作分部積分，據此求
       ∞
      ∫  [sin^2(x)]/x^2 dx 之值。
       0

10.

         sinyx              ∞
f(x,y)=---------  , φ(y)= ∫  f(x,y) dx 之值。
        x(x^2+1)            0

(a)
              ∞
試證 φ'(y)= ∫  f_y(x,y) dx
              0
(b)
              ∞
試證 φ''(y)= ∫  f_yy(x,y) dx
              0

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※ 轉錄者: hnxu (140.112.218.161), 時間: 06/29/2013 01:38:02
推 MarauderT:你讓我想到CT的話，CT說要是你這學期再沒過 大家一起修
推 FallCloud:這名字怎麼聽起來有點像是本社第一任指導老師
推 RoofYt:陳金次當本社指導老師大概有一年半那麼久
→ gordonhank:創社第一任吧..那個時候的據點是物理館，他是物理系的
→ gordonhank:微積分老師
推 exp:............為什麼敝社還會有指導老師這種東西  @@
推 FallCloud:每學期大概有6~7張單子要給指導老師簽名呢
推 exp:所以現在指導老師是誰? 未來FC是指導老師嗎? XD
推 FallCloud:指導老師是資工系的周承復教授，我要先進台大任教才能當