課程名稱︰微積分乙
課程性質︰系定必修
課程教師︰詹進吉
開課學院：
開課系所︰
考試日期（年月日）︰97/4/17
考試時限（分鐘）：110
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
一：求不定積分
1） ∫dx / a^2*(sinx)^2+b^2*(cosx)^2 a，b >0之常數
2) ∫(㏑x)^2 dx
二:
1) 試證 lim∫1+1/2+1/3+....+1/n / ㏑n =1
n→∞
x
2) 求 lim 1/x∫cos(t^2)dt
x→0 0
1
3) 求 ∫ ㏑(1+x) / 1+x^2 dx
0
e
4) 求 ∫x^2 ㏑x dx
1
三:
設f在[a,b]上二階可導，且F"(x)>0 ∀x∈(a,b)
1) f常被稱為什麼函數
b
2) 試證 f(a+b/2)≦ 1/b-a ∫f(x)dx
a
四:
求內擺線x=a(cost)^3 y=a(sint)^3 a>0 所圍之圖形面積
五:
求擺線 x=a(t-sint) y=a(1-cost) a>0 一拱與x軸鎖微平面(有限)區域之
面積以及一拱之弧長
六:
1)
在3維歐式空間R^3中，求介於兩個圓柱面 x^2+z^2=a^2 和 y^2+z^2=a^2
(a>0常數)所圍立體(牟合方蓋)之體積
2)
唐代李淳風的"九章算術註"中提到南北朝祖冲之和其子祖恆所發現之祖恆定理
".....緣冪勢既同，其積不容異"
a) 冪、勢所指為何
b) 將此句翻成白話文，又這個定理在西方數學界被稱為什麼定理
七: +∞ +∞
1) 說明廣義積分∫x*(e^(-x^2/2))dx 和 ∫ x^2*(e^(-x^2/2))dx 必收斂
-∞ -∞
+∞ ╴╴
2) 假定 ∫ e^(-x^2/2)dx=√2π
-∞
+∞ +∞ ╴╴
試證 ∫x*(e^(-x^2/2))dx=0 和 ∫ x^2*(e^(-x^2/2))dx=√2π
+∞ -∞
八:
1) 設i=i(t)為對t可微的函數，令i(0)=iˇ0 而λ>0為常數
若i=i(t)滿足下列一階微分方程式
di/dt=λi(1-i)
求 i=i(t)之表達式，就是上列微分方程式解
提示:可視t為i之函數，求不定積分，再求反函數
求 lim i(t)
t→+∞
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